尽管《机器学习数学基础》这本书，耗费了比较长的时间和精力，怎奈学识有限，错误难免。因此，除了在专门的网页（ 勘误和修订 ）中发布勘误和修订内容之外，对于重大错误，我还会以专题的形式发布，并做出更多的相关解释。
更欢迎有识之士、广大读者朋友，指出其中的错误。非常感谢大家的帮助。
在《机器学习数学基础》第29页到第30页，推导过渡矩阵和坐标变换的时候，原文有一些错误。下面将推导过程重新编写如下，并且增加一些更详细的说明。此说明没有写入原文，是为了协助理解这段推导而作。
针对性的修改，请参阅：勘误与修订
设
$$
\overrightarrow{OA} = x_1\pmb{\alpha}_1 + \cdots + x_n\pmb{\alpha}_n\tag{1.3.4}
$$
其中的
如果有另外一个基
$$
\overrightarrow{OA} = x_1'\pmb{\beta}_1 + \cdots + x_n'\pmb{\beta}_n\tag{1.3.5}
$$
那么，同一个向量空间的这两个基有没有关系呢？有。不要忘记，基是一个向量组，例如基
$$ \begin{cases}\begin{split}\pmb{\beta}1 &= b{11}\pmb{\alpha}1 + \cdots + b{n1}\pmb{\alpha}_n \ \vdots \\pmb{\beta}n &= b{1n}\pmb{\alpha}1 + \cdots + b{nn}\pmb{\alpha}_n \end{split}\end{cases} $$ 以矩阵（这里提前使用了矩阵的概念，是因为本书已经在前言中声明，不假定读者完全没有学过高等数学。关于矩阵的更详细内容，请参阅第2章）的方式，可以表示为：
$$ \begin{bmatrix}\pmb{\beta}1&\cdots&\pmb{\beta}n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\pmb{\alpha}1&\cdots&\pmb{\alpha}n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b{11} & \cdots & b{1n}\\vdots\b{n1} & \cdots &b{nn}\end{bmatrix}\tag{1.3.6} $$ 其中：
$$
\pmb P = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\vdots\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix}
$$
称为基
定义 在同一个向量空间，由基
${\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n}$ 向基${\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n}$ 的过渡矩阵是$\pmb{P}$ ，则： $$ [\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n] = [\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n]\pmb P $$
根据（1.3.5）式，可得：
$$ \begin{split}x_1'\pmb{\beta}1 + \cdots + x_n'\pmb{\beta}n &= x_1'b{11}\pmb{\alpha}1 + \cdots + x_1'b{n1}\pmb{\alpha}n \ & \quad + \cdots \ & \quad + x_n'b{1n}\pmb{\alpha}1 + \cdots + x_n'b{nn}\pmb{\alpha}n \ &=(x_1'b{11}+ \cdots + x_n'b{1n})\pmb{\alpha}1 \ & \quad + \cdots \ &\quad+(x_1'b{n1} + \cdots + x_n'b_{nn})\pmb{\alpha}_n\end{split} $$ （1.3.4）式 和（1.3.5）式描述的是同一个向量，所以：
$$ \begin{cases}\begin{split}x_1 &= x_1'b_{11} + \cdots + x_n'b_{1n}\&\vdots\x_n &= x_1'b_{n1} + \cdots + x_n'b_{nn}\end{split}\end{cases} $$ 如果写成矩阵形式，即：
$$ \begin{bmatrix}x_1\\vdots\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\vdots\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1'\\vdots\x_n'\end{bmatrix}\tag{1.3.7} $$ 表示了在同一个向量空间中，向量在不同基下的坐标之间的变换关系，我们称为坐标变换公式。
定义 在某个向量空间中，由基
${\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n}$ 向基${\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n}$ 的过渡矩阵是$\pmb{P}$ 。某向量在基${\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n}$ 的坐标是 $\pmb{x}=\begin{bmatrix}x_1\\vdots\x_n\end{bmatrix} $，在基${\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n}$ 的坐标是 $\pmb x'=\begin{bmatrix}x_1'\\vdots \x_n'\end{bmatrix}$，这两组坐标之间的关系是： $$ \pmb x = \pmb P \pmb x' $$
以上错误，是我在录制《机器学习数学基础》的视频课程时候，讲到了这里，发现的。现在深刻体会到：教，然后知不足。教学相长，认真地研究教学，也是自我提升。著名物理学家费恩曼有一种非常好的学习方法，就是将要学的东西，讲给别人听，看看是否能讲明白。