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%instiki:category: FisicaSubatomica
\chapter{Modelo Estándar}
\label{cha:modelo-estandar} %noinstiki
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%instiki:***
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%instiki:[[NotasFS|Tabla de Contenidos]]
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%instiki:***
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%instiki:* [Interacci\'on Electrod\'ebil](#inter-electr)
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%instiki:* [Modelo Est\'andar](#modelo-estandar)
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%instiki:

\includegraphics[scale=0.5]{fundamental_forces}

\begin{quote}
  \begin{itemize}
  \item[--]  Of these four forces, there's one we don't really understand.
  \item[--] Is it the weak force or the strong?
  \item[--]It's gravity.
  \end{itemize}
\end{quote}
\url{http://xkcd.com/1489/}

\section{Contenido de partículas}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
La materia conocida esta constituida de un cojunto de \emph{fermiones de Dirac} elementales definidos en la Tabla~\ref{tab:ef}
\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{l|l|c|r}
    Tipo &Nombre & Simbolo&Carga\\\hline{}
   leptones& electrón & $e$& $-1$\\
          & neutrino & $\nu$ & $0$\\\hline{}
   quarks &quark up  & $u_1,u_2,u_3$ & $2/3$\\
          &quark down  & $d_1,d_2,d_3$& $-1/3$\\
  \end{tabular}
  \caption{Fermiones elementales:
    El símbolo representa tanto la partícula, i.e  $e^-$, como la antipartícula, i.e $e^+$. La carga eléctrica está dada en unidades de la carga del electrón $e$.}
  \label{tab:ef}
\end{table}
donde podemos definir los tripletes de color de quarks como
\begin{align}
  u=&
  \begin{pmatrix}
    u_1 \\ u_2\\ u_3\\
  \end{pmatrix}
  &d=&
  \begin{pmatrix}
    d_1 \\ d_2 \\ d_3\\
  \end{pmatrix}
\end{align}

Este conjunto de partículas esta bien definido para interacciones que conservan paridad como la interacción electromagnética o la fuerte. Para introducir las interacciones débiles usaremos más bien espinores de Weyl.

\end{frame}

\section{Interacciones débiles}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Las interacciones débiles son las responsables, entre otros fenoménos,
del decaimiento de neutrones libres en un protón, un electrón y un
anti-neutrino electrónico. En nuestro entendimiento actual, se asume
que dicho decaimiento esta medidado por un bosón vectorial masivo y
cargado llamado $W^-_{\mu}$ con su correspondiente antipartícula
$W^{+}_{\mu}$. El carácter masivo da cuenta del corto alcance de la
interacción comparado con el rango infinito de la
interacción electromagnética mediada por un fotón sin masa
$A_{\mu}$. En la primera parte del decaimiento, el neutrón decae al
proton y un $W^{-}_{\mu}$ virtual, el cual a su vez decae en un
anti-neutrino derecho y un electrón izquierdo como se muestra en la
figura~\ref{fig:wnl}.

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{wnl}
  \caption{Decaimiento del $W_\mu^-$.}
  \label{fig:wnl}
\end{figure}

Dicho decaimiento debe involucrar un término de interacción del tipo
\begin{align}
  \mathcal{L}_{W}\propto \left( \nu_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu} e_L W_{\mu}^{+}.
\end{align}



Este tipo de interacción significa que en el contexto de las interacciones débiles un $e_L$ debe ser completamente
equivalente a un campo $\nu_L$. Es decir, el Lagrangiano debe ser
invariante bajo una transformación $\operatorname{SU}(2)_L$ de esos campos. A las energías normales, a las que se encuentra por ejemplo un neutrón dentro de un núcleo de Uranio, dicha simetría permanece oculta pues un electrón izquierdo y un neutrino izquierdo son campos completamente diferentes.
La diferencia entre ellos no sólo está en sus respectivas cargas eléctricas sino también en sus
masas, pues la masa del neutrino es mucho más pequeña que la del electrón. 

Para poder explicar dicha interacción en el contexto de una simetría gauge local $\operatorname{SU}(2)_L$, debemos asumir que dicha simetría es explicita en alguna otra escala de energía donde en efecto  $e_L$ sea completamente
equivalente a $\nu_L$.

Debemos asumir entonces que ambos campos tienen una misma hipercarga,
asociada a una nueva simetría Abeliana $\operatorname{U}(1)_Y$ que sea la precursora de la simetría Abeliana de carga eléctrica $\operatorname{U}(1)_Q$. En tal caso, podríamos esperar que
la corriente electromagnética apropiada pueda obtenerse a partir del
Grupo semisimple $\operatorname{SU}(2)_L\times U(1)_Y$. Además, la respectiva masa para $W_{\mu}^{-}$
se podría obtener a partir del mecanismo de Higgs.

La simetría $\operatorname{SU}(2)_L$ entre las partes izquierdas del neutrino y el electrón, y entre las partes izquierdas de los quarks up y down, se establece  definiendo los dobletes:
  \begin{align}
    L\equiv\begin{pmatrix}
      \nu_L\\
      e_L      
    \end{pmatrix},\qquad   Q=&\begin{pmatrix}
    u_L\\
    d_L
  \end{pmatrix}\,,
  \end{align}
De otro lado, La invarianza bajo $U(1)_Y$ requiere que
\begin{align}
  Y_L=&Y_{\nu_L}=Y_{e_L}\nonumber\\
  Y_Q=&Y_{u_L}=Y_{d_L}\,.
\end{align}
El generador de carga eléctrica $\widehat{Q}$, se va obtener a partir de una combinación lineal del generador diagonal de $\operatorname{SU}(2)_L$, $T_3$, y del generador de hipercarga, $\widehat{Y}$.

Para considerar las interacciones débiles en conjunto con las interacciones electromágneticas y fuertes, es conveniente definir los campos de la primera generación en términos de los espinores ($\xi_{\alpha}$) y anti-espinores ($\eta^{\alpha}$) de Weyl izquierdos, de acuerdo a las convenciones de la Tabla~\ref{tab:electron}. El contenido de partículas con sus propiedades de transformación bajo el Grupo semisimple $\operatorname{SU}(3)_c\times \operatorname{SU}(2)_L\times U(1)_Y$ está dado en la Tabla~\ref{tab:fgw}, donde el $\mathbf{3}$ o el $\overline{\mathbf{3}}$ de $\operatorname{SU}(3)_c$ quieren decir que, además, para cada quark
\begin{align}
u_L=&
\begin{pmatrix}
  {u_{L}}_1\\
  {u_{L}}_2\\
  {u_{L}}_3
\end{pmatrix}&
  \left( u_R \right)^{\dagger}=&
  \begin{pmatrix}
    \left( u_R \right)^{\dagger}_1&
        \left( u_R \right)^{\dagger}_2&    \left( u_R \right)^{\dagger}_3
  \end{pmatrix},
\end{align}
respectivamente.



\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{l|c|c}\hline
    Nombre & Símbolo & $\left( \operatorname{SU}(3)_c, \operatorname{SU}(2)_L, U(1)_Y \right)$\\\hline
    $\Xi_{1\alpha}$: Doblete leptónico & $L=\displaystyle{\begin{pmatrix}
      \nu_L\\
      e_L      
    \end{pmatrix}}$ & $\left( \mathbf{1},\mathbf{2},Y_L \right)$\\
    $\Xi_{2\alpha}$: Doblete de quarks & $Q=\displaystyle{\begin{pmatrix}
      u_L\\
      d_L      
    \end{pmatrix}}$ & $\left( \mathbf{3},\mathbf{2},Y_Q \right)$\\
   $\eta^{\alpha}_1$: positrón izquierdo & $\left( e_R \right)^{\dagger}$&$\left(\mathbf{1},\mathbf{1},Y_{E}\right)$ \\
   $\eta^{\alpha}_2$: anti-up izquierdo & $\left( u_R \right)^{\dagger}$&$\left(\overline{\mathbf{3}},\mathbf{1},Y_{U}\right)$ \\
   $\eta^{\alpha}_3$: anti-down izquierdo & $\left( d_R \right)^{\dagger}$&$\left(\overline{\mathbf{3}},\mathbf{1},Y_{D}\right)$ \\
  \end{tabular}
  \caption{Espinores de Weyl izquierdos para la primera generación del modelo estándar}
  \label{tab:fgw}
\end{table}


Bajo la simetría $\operatorname{SU}(2)_L$, los campos transforman como:
 \begin{align}
  L\to L'=&\exp(i T^i \theta_i)L\approx(1+i T^i\theta_i)L\nonumber\\
  Q\to Q'=&\exp(i T^i \theta_i)Q\approx(1+i T^i\theta_i)Q\nonumber\\
  e_R\to& e'_R=e_R\nonumber\\
  u_R\to& u'_R=u_R\nonumber\\
  d_R\to& d'_R=d_R\,.
\end{align}
donde
\begin{align}
  T^i=\frac{\tau^i}{2}\,,
\end{align}
y $\tau^i$ son las matrices de Pauli dadas en la ec.~\eqref{eq:paulimatr}.

\end{frame}



\section{Simetría gauge local $\operatorname{SU}(3)_c\times  \operatorname{SU}(2)_L\times  U(1)_Y$}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Los términos de masa de Dirac, usando las convenciones de la
Tabla~\ref{tab:fgw} no son invariantes bajo la simetría $\operatorname{SU}(2)_L$ porque
no hay forma de escribir términos escalares usando combinaciones los
campos $\Xi$ y $\eta$.  De la ec.~\eqref{eq:dwlag}, y usando la definición para los dobletes adjuntos de $\operatorname{SU}(2)_L$ en la ec.~\eqref{eq:Xiadj}, el Lagrangiano más
general posible para los campos de la Tabla~\ref{tab:fgw} compatibles
con las simetría de Lorentz y el grupo global $\operatorname{SU}(3)_c\times
\operatorname{SU}(2)_L\times U(1)_Y$ es
\begin{align}
  \mathcal{L}=&\sum_{i=1}^2i\epsilon_{ab}\widetilde{\Xi}_i^{a}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\Xi_i^{b}
+\sum_{i=1}^3i\eta_{i}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} \eta^{\dagger}_i\nonumber\\
  =&\sum_{i=1}^2i\widetilde{\Xi}_i\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\Xi_i
+\sum_{i=1}^3i\eta_{i}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} \eta^{\dagger}_i\nonumber\\
=&i\widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}L+i\widetilde{Q}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}Q
+i(e_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} e_R+i(u_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} u_R+i
(d_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} d_R \nonumber\\
=&i(\nu_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\nu_L+i(e_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}e_L
+i (u_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_L+i(d_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}d_L \nonumber\\
&+i(e_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu}e_R+i(u_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} u_R+i(d_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu} d_R \,,
\end{align}
donde
\begin{align}
\label{eq:widetildeLQ}
  \widetilde{L}=&
  \begin{pmatrix}
   \left(e_L\right)^{\dagger}\\
  - \left(\nu_L  \right)^{\dagger}\\
  \end{pmatrix},&
  \widetilde{Q}=&
  \begin{pmatrix}
   \left(d_L\right)^{\dagger}\\
  - \left(u_L  \right)^{\dagger}\\
  \end{pmatrix},&
\end{align}
de modo que
\begin{align*}
  i\widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}L=&
  i\,\epsilon_{ab}\widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}L \nonumber\\
 =&i\,\widetilde{L}^1\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}L^2-i\,\left( -\widetilde{L}^2 \right)\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}L^1    \nonumber\\
 =&i\,\left( e_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}e_L+i\,\left( \nu_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\nu_L    \nonumber\\
\end{align*}
y lo mismo para $Q$.



Para obtener la interacciones del modelo estándar, reemplazamos las derivadas normales por derivadas covariantes.

Proponemos entonces el Lagrangiano
\begin{align}
\label{eq:L0}
     \mathcal{L}=&i\widetilde{Q}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu Q+i\widetilde{L}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+
i(e_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}+i(d_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu d_R+i(u_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {u_R}
\nonumber\\
     &-\tfrac{1}{4}G^{\mu\nu}_a G_{\mu\nu}^a-\tfrac{1}{4}W^{\mu\nu}_i W_{\mu\nu}^i-\tfrac{1}{4}B^{\mu\nu} B_{\mu\nu}\,,
\end{align}
donde
\begin{align}
  \mathcal{D}^\mu&\equiv\partial^\mu-i g_s\frac{\lambda^a}{2}G^\mu_a-i g_2 \frac{\tau^i}{2}W^\mu_i-i {g_1}YB^\mu\,.
\end{align}
y además
\begin{align*}
  \Lambda^a\equiv\frac{\lambda^a}{2},\ a=1,2,\ldots,8 &\qquad\text{8 generadores de $\operatorname{SU}(3)_c$}\\
  T^i\equiv\frac{\tau^i}{2},\ i=1,2,3 &\qquad\text{3 generadores de $\operatorname{SU}(2)_L$}\\
  Y &\qquad\text{generador de $U(1)_Y$},
\end{align*}
A este nivel, tanto los 15 fermiones de Weyl (cada quark izquierdo y derecho viene en tres colores), como los 12 bosones gauge, \emph{tienen masa nula}. Necesitamos entonces un mecanismo de ruptura espontánea de simetría para generar por lo menos masas para los tres bosones gauge asociados a la interacción débil, el cual será abordado en la Sección~\ref{sec:rupt-espont-de}.



\end{frame}
Además,
\begin{align}
  W_{\mu \nu}^i=&\partial_\mu W_\nu^i -\partial_\mu W_\mu^i+ g \epsilon_{ijk}W_\mu^j W_\nu^k \nonumber\\
  B_{\mu \nu}=&\partial_\mu B_\nu -\partial_\mu B_\mu\,.
\end{align}
y $G_{\mu\nu}^a$ está dado en la ec.~\eqref{eq:258qft}.

Bajo una transformación gauge local, las derivadas covariantes de los campos (y por consiguiente los campos) transforman como:
\begin{align}
  \mathcal{D}_\mu L&\to\left(\mathcal{D}_\mu L\right)'=\exp\left(-i\theta_iT^i-i\beta Y_L\right)\mathcal{D}_\mu L\nonumber\\
  \mathcal{D}_\mu Q&\to\left(\mathcal{D}_\mu Q\right)'=\exp\left(-i\alpha_a\Lambda^a-i\theta_iT^i-i\beta Y_Q\right)\mathcal{D}_\mu Q\nonumber\\
  \mathcal{D}_\mu \Phi&\to\left(\mathcal{D}_\mu \Phi\right)'=\exp\left(-i\theta_iT^i-i\beta Y_\Phi\right)\mathcal{D}_\mu \Phi\nonumber\\
  \mathcal{D}_\mu e_R&\to\left(\mathcal{D}_\mu e_R\right)'=\exp\left(-i\beta Y_{E}\right)\mathcal{D}_\mu e_R=\exp\left(-i\beta Q_{e}\right)\mathcal{D}_\mu e_R\nonumber\\
  \mathcal{D}_\mu d_R&\to\left(\mathcal{D}_\mu d_R\right)'=\exp\left(-i\alpha_a\Lambda^a-i\beta Y_{D}\right)\mathcal{D}_\mu d_R=\exp\left(-i\alpha_a\Lambda^a-i\beta Q_{d}\right)\mathcal{D}_\mu d_R\nonumber\\
  \mathcal{D}_\mu u_R&\to\left(\mathcal{D}_\mu u_R\right)'=\exp\left(-i\alpha_a\Lambda^a-i\beta Y_{U}\right)\mathcal{D}_\mu u_R=\exp\left(-i\alpha_a\Lambda^a-i\beta Q_{u}\right)\mathcal{D}_\mu u_R\,.
\end{align}
donde $Q_{e}=-1$, etc, son las cargas eléctricas asociadas a los campos.


\section{Ruptura espontánea de simetría}
\label{sec:rupt-espont-de}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Todas las partículas en este lagrangiano son no masivas. Esto funciona sólo para los gluones y uno de los bosones gauge abelianos, pero no es realista para los bosones gauge cargados. 
Para solucionar este problema se postula la existencia de un nuevo doblete escalar complejo
( y su correspondiente adjunto de $\operatorname{SU}(2)$) con cuatro grados de libertad:
\begin{align}
\label{eq:Phi}
  \Phi=&
  \begin{pmatrix}
    \phi^+\\
    \phi^0\\
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
    \phi_1+i\phi_2\\
\phi_3+i\phi_4
  \end{pmatrix},&
\widetilde{\Phi}=&
  \begin{pmatrix}
    \left( \phi^0 \right)^{*}\\
   -\phi^-\\
  \end{pmatrix}\,.
\end{align}
El  ``$\pm$'' y el superíndice 0, se ponen de forma conveniente para obtener expresiones consitentes. Es claro que $\left( \phi^+ \right)^{*}=\phi^-\,.$





Es posible ahora construir invariantes $\operatorname{SU}(2)$ con las siguientes combinaciones de campos similares al del término de masa de Dirac en~\eqref{eq:dwlag}
\begin{align}
 -\eta_1\,\Xi_1\cdot\widetilde{\Phi}-\left(\eta_1\,\Xi_1\cdot\widetilde{\Phi}  \right)^{\dagger}
 =& -\eta_1\,\Xi_1\cdot\widetilde{\Phi}-\text{h.c}\nonumber\\
 =& -\eta^{b}_1\,\epsilon_{ab}\,\Xi_1^{a}\cdot\widetilde{\Phi}^{b}-\text{h.c} \nonumber\\
   =&-\left( e_R \right)^{\dagger}\epsilon_{ab}L^a\widetilde{\Phi}^b -\text{h.c} \nonumber\\
   =&\left( e_R \right)^{\dagger}L^1\widetilde{\Phi}^2+\left( e_R \right)^{\dagger}L^1\widetilde{\Phi}^2 +\text{h.c} \nonumber\\
   =&\left( e_R^{-} \right)^{\dagger}\nu_L\phi^- +\left( e_R^{-} \right)^{\dagger}e_L^-\phi^0 +\text{h.c} \,,
 \end{align}
donde $\text{h.c}$, denota el hermítico conjugado de cada término (para garantizar que el Lagrangiano sea real)
y hemos puesto la carga del electrón para hacer explícita la conservación de la carga eléctrica. 

Note que
\begin{align}
  \left( e_R \right)^{\dagger}\epsilon_{ab}L^a\widetilde{\Phi}^b=\left( e_R \right)^{\dagger}L\cdot \widetilde{\Phi}\,.
\end{align}


\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El Lagrangiano completo involucrando estos campos es
\begin{align}
     \mathcal{L}=&i\widetilde{Q}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu Q+i\widetilde{L}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+
i(e_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}+i(d_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {d_R}+i(u_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {u_R}
\nonumber\\
     &-\tfrac{1}{4}G^{\mu\nu}_a G_{\mu\nu}^a-\tfrac{1}{4}W^{\mu\nu}_i W_{\mu\nu}^i-\tfrac{1}{4}B^{\mu\nu} B_{\mu\nu}\nonumber\\
     &+\widetilde{\left( \mathcal{D}_\mu{\Phi} \right)}\cdot\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi-\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2\nonumber\\
     &- \left[  h_e \left( e_R \right)^{\dagger}\,L\cdot \widetilde{\Phi}_b +
      h_d \left( d_R \right)^{\dagger}\,Q\cdot \widetilde{\Phi} +
      h_u \left( u_R \right)^{\dagger}\,Q\cdot {\Phi}+\text{h.c}\right]\nonumber\\
     =&\mathcal{L}_{\text{fermion}}+\mathcal{L}_{\text{gauge}}
     +\mathcal{L}_{WBH}
     -\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}\,.
\end{align}
donde $\mu^2<0$, y $\lambda>0$,
\begin{align}
  \widetilde{\Phi}=&i\tau_2\Phi^* 
% \nonumber\\
% =&i
% \begin{pmatrix}
%   0 & -i \\
%  i & 0\\
% \end{pmatrix}
% \begin{pmatrix}
%   \phi^+\\
% \phi^0
% \end{pmatrix}^{*} \nonumber\\
% =&\begin{pmatrix}
%   0 & 1 \\
%  -1 & 0\\
% \end{pmatrix}
% \begin{pmatrix}
%   \phi^-\\
% {\phi^0}^{*}
%\end{pmatrix} \nonumber\\
=\begin{pmatrix}
{\phi^0}^{*}\\
-  \phi^-\\
\end{pmatrix}, &   \Phi=&
  \begin{pmatrix}
    \phi^+\\
    \phi^0\\
  \end{pmatrix}.
\end{align}

\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Resumiendo

\begin{align}
  \label{eq:smscalar}
\mathcal{L}_{\text{fermion}}=&i\widetilde{Q}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu Q+i\widetilde{L}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L \nonumber\\
&+i(e_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}+i(d_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {d_R}+i(u_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {u_R}\nonumber\\
  \mathcal{L}_{WBH}=&\widetilde{\left( \mathcal{D}_\mu{\Phi} \right)}\cdot\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi-\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2 \nonumber\\
\mathcal{L}_{\text{gauge}}=& -\tfrac{1}{4}G^{\mu\nu}_a G_{\mu\nu}^a-\tfrac{1}{4}W^{\mu\nu}_i W_{\mu\nu}^i-\tfrac{1}{4}B^{\mu\nu} B_{\mu\nu}\nonumber\\
  % =&(\mathcal{D}_\mu\Phi)^\dagger\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\Phi^\dagger\Phi-\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2\nonumber\\
%=&(\mathcal{D}_\mu\widetilde{\Phi})^\dagger\mathcal{D}^\mu\widetilde{\Phi}-\mu^2\widetilde{\Phi}^\dagger\widetilde{\Phi}-\lambda(\widetilde{\Phi}^\dagger\widetilde{\Phi})^2\nonumber\\
-\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=&  h_e \left( e_R \right)^{\dagger}\,L\cdot \widetilde{\Phi}_b +
      h_d \left( d_R \right)^{\dagger}\,Q\cdot \widetilde{\Phi} +
      h_u \left( u_R \right)^{\dagger}\,Q\cdot {\Phi}+\text{h.c}
\end{align}
Para el potencial escalar usaremos la forma más conveniente del producto matricial para el invariante de $\operatorname{SU}(2)_L$ por que no hay ambigüedad con el conjugado de un campo escalar.

Para los campos del Lagrangiano, debemos asegurarnos de que todos los términos invariantes gauge locales y renormalizables sean considerados. De hecho, términos de interacción entre fermiones y el campo escalar, correspondiente a una interacción de Yukawa, son invariantes bajo transformaciones $SU(3)_c\times  SU(2)_L\times  U(1)_Y$ si
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align*}
  Y_L+Y_{\widetilde{\Phi}}-Q_{e}=&0\\
  Y_Q+Y_{\widetilde{\Phi}}-Q_{d}=&0\\
  Y_Q+Y_{\Phi}-Y_{u}=Y_Q-Y_{\widetilde{\Phi}}-Q_{u}=&0\,,
\end{align*}
donde hemos fijado $Y_{\widetilde{\Phi}}=-Y_\Phi$. Solucionado para las hipercargas de los dobletes tenemos
\begin{align}
\label{eq:yyy}
Y_L=&\frac{1}{2}\left( -Q_d+2Q_e+Q_u \right)=-\frac{1}{2}  \nonumber\\
Y_Q=&\frac{1}{2}\left( Q_d+Q_u \right)=\frac{1}{6} \nonumber\\
Y_{\widetilde{\Phi}}=-Y_{\Phi}=&\frac{1}{2}\left( Q_d-Q_u \right)=-\frac{1}{2}\,.
\end{align}

De este modo, es consistente interpretar los superíndices de $\phi^+$ y $\phi^0$ en la ec.~\eqref{eq:Phi} como las cargas eléctricas de las componentes del doblete de Higgs, $\Phi$. El hecho de que la información necesaria y suficiente para determinar las hipercargas requiera el sector completo de quarks y leptones es un índicio de la autoconsistencia sólo al nivel de la simetría completa asociada con las tres interacciones subatómicas que definen el modelo estándar de las interacciones fundamentales.

\end{frame}

El potencial escalar contiene los términos
\begin{align}
  V(\Phi)=\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi+\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2 
\end{align}
con $\mu^2<0$ y $\lambda>0$. % se reduce a
% \begin{align}
%   V(H)=\frac{1}{2}\mu^2(H+v)^2+\frac{1}{4}\lambda (H+v)^4\,.
% \end{align}


El modelo estándar es entonces una combinación de una teoría gauge local $\operatorname{SU}(3)_{c}$ con una simetría gauge local con ruptura espontánea de simetría (RES) $\operatorname{SU}(2)_L\times \operatorname{U}(1)_Y$. A continuación nos enfocaremos de momento en la parte leptónica de  $\operatorname{SU}(2)_L\times \operatorname{U}(1)_Y$ con RES.

\section{Una teoría para leptones de la primera generación}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Comenzaremos analizando una versión simplificada del Lagrangiano con sólo los leptones de la primera de generación,
\begin{align}
  \mathcal{L}^{\text{lepton}}=\mathcal{L}_{\text{fermion}}^{\text{lepton}}+
   \mathcal{L}_{WBH}+\mathcal{L}_{\text{gauge}}-\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}^{\text{lepton}}\,,
\end{align}
donde
\begin{align}
  \label{eq:smscalarlep}
\mathcal{L}_{\text{fermion}}^{\text{lepton}}=&i\widetilde{L}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L 
+i(e_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}\nonumber\\
  \mathcal{L}_{WBH}=&\widetilde{\left( \mathcal{D}_\mu{\Phi} \right)}\cdot\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi-\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2 \nonumber\\
\mathcal{L}_{\text{gauge}}=& -\tfrac{1}{4}W^{\mu\nu}_i W_{\mu\nu}^i-\tfrac{1}{4}B^{\mu\nu} B_{\mu\nu}\nonumber\\
  % =&(\mathcal{D}_\mu\Phi)^\dagger\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\Phi^\dagger\Phi-\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2\nonumber\\
%=&(\mathcal{D}_\mu\widetilde{\Phi})^\dagger\mathcal{D}^\mu\widetilde{\Phi}-\mu^2\widetilde{\Phi}^\dagger\widetilde{\Phi}-\lambda(\widetilde{\Phi}^\dagger\widetilde{\Phi})^2\nonumber\\
-\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}^{\text{lepton}}=&  h_e \left( e_R \right)^{\dagger}\,L\cdot \widetilde{\Phi}_b +\text{h.c}
\end{align}
y sin perdida de generalidad para las partes del Lagrangiano $\mathcal{L}_{\text{gauge}}$ y $ \mathcal{L}_{WBH}\,$ que no involucran fermiones.
\end{frame}

\subsection{Interacciónes débiles fermión-gauge para leptones}

Nos enfocaremos de momento en la parte leptónica pues las interacciones para quarks involucran el mismo tipo de cálculos.

Los términos de interacción generados por la simetría gauge para el sector leptónico son:
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\label{eq:devLW}
 \mathcal{L}_{\text{fermion}}^{\text{lepton}}=& i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+  i \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu e_R \nonumber\\
=&i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu L+i \left(e_R  \right)^{\dagger}\sigma^\mu\partial_\mu {e_R} \nonumber\\
&+ i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu(-i g_2 T_iW_\mu^i-i {g_1}\,Y_LB_\mu) L + i \left( e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu \left( -i{g_1} Y_R B_{\mu} \right) {e_R}\,.
\end{align}
Definiendo
\begin{align}
\label{eq:knt}
  \mathcal{L}_{\text{kinetic}}=&i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu L+i \left(e_R  \right)^{\dagger}\sigma^\mu\partial_\mu {e_R} \\
  \mathcal{L}_{WBL}=&i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu(-i g_2 T_iW_\mu^i-i {g_1}\,Y_LB_\mu) L + i \left( e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu \left( -i{g_1} Y_R B_{\mu} \right) {e_R}\nonumber\,.
\end{align}
tenemos que
\begin{align}
\mathcal{L}_{WBL}=& \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu(g_2 T_1W_\mu^1+ g_2 T_2W_\mu^2+g_2 T_3W_\mu^3+{g_1}\,Y_LB_\mu) L+ g_1 Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R} B_\mu\nonumber\\
=& \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[\frac{g_2}{\sqrt{2}}
  \begin{pmatrix}
0 & W_\mu^+\\
W_\mu^- & 0\\    
  \end{pmatrix}
+g_2 T_3W_\mu^3+{g_1}\,Y_LB_\mu
\right]L+ {g_1} Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R} B_\mu\nonumber\\
=&i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\frac{g_2}{\sqrt{2}}
  \begin{pmatrix}
0 & W_\mu^+\\
W_\mu^- & 0\\    
  \end{pmatrix}L+
 \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[g_2 T_3W_\mu^3+{g_1}\,Y_LB_\mu
\right]L+ {g_1} Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R} B_\mu\nonumber\\
  =& \frac{g_2}{\sqrt{2}}\widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu
  \begin{pmatrix}
e_LW_\mu^+\\
\nu_L W_\mu^-\\    
  \end{pmatrix}+\mathcal{L}_{A Z L}\,,
\end{align}

donde
\begin{align}
\label{eq:lazl}
  \mathcal{L}_{A Z L}=& \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[g_2 T_3W_\mu^3+{g_1}\,Y_LB_\mu\right]L+ {g_1} Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R} B_\mu\,.
\end{align}

Teniendo en cuenta que 
\begin{align}
  \frac{g_2}{\sqrt{2}}\widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu
  \begin{pmatrix}
e_LW_\mu^+\\
\nu_L W_\mu^-\\    
  \end{pmatrix}=\frac{g_2}{\sqrt{2}} \left[ \epsilon^{12} \widetilde{L}_1 \overline{\sigma}^{\mu} \nu_L W_{\mu}^-
+\epsilon^{21}  \widetilde{L}_2 \overline{\sigma}^{\mu} e_L W_{\mu}^+ \right],
\end{align}
y usando \eqref{eq:widetildeLQ}
\begin{align}
  \frac{g_2}{\sqrt{2}}\widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu
  \begin{pmatrix}
e_LW_\mu^+\\
\nu_L W_\mu^-\\    
  \end{pmatrix}=\frac{g_2}{\sqrt{2}} \left[\left( e_L \right)^{\dagger} \overline{\sigma}^{\mu} \nu_L W_{\mu}^-
+ \left( \nu_L \right)^{\dagger} \overline{\sigma}^{\mu} e_L W_{\mu}^+ \right].
\end{align}
\end{frame}
De este modo, la simetría gauge genera la interacción deseada con los bosones gauge cargados $W_{\mu}^{\pm}$. Sin embargo, se generan muchas otras interacciones las cuales deben contener apropiadamente la interacción electromagnética en algún cambio de base.

% Reemplazando en \eqref{eq:devLW}
% \begin{align}
%     i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L-i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu L
%   =&
% \frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[\left( \nu_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu e_LW_\mu^++
% \left( e_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu\nu_L W_\mu^-\right]    
% +\mathcal{L}_{A Z L}\nonumber\\
%   =&
% \mathcal{L}_{W L}    
% +\mathcal{L}_{A Z L}\,,
% \end{align}
Entonces
\begin{align}
  \mathcal{L}_{WBL}= \mathcal{L}_{W L}+  \mathcal{L}_{A Z L}\,,
\end{align}
donde
\begin{align}
\label{eq:lwl}
  \mathcal{L}_{W L}=&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[\left( \nu_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu e_LW_\mu^++
\left( e_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu\nu_L W_\mu^-\right].
\end{align}

El principal problema con $\mathcal{L}_{AZL}$ en la ec.~\eqref{eq:lazl} es que el neutrino izquierdo $\nu_L$ presente en $L$ se acopla a los dos bosones gauge neutros $W_3^{\mu}$ y $B^{\mu}$. Debemos buscar una base en la cual se pueda recuperar la interacción electromagnética de tal forma que el fotón $A_{\mu}$ no se acople a partículas neutras como el neutrino, $\nu_L$. Definimos entonces el posible fotón a partir de la rotación
\begin{equation}
\label{eq:rottw}
  \begin{pmatrix}
    W_3^\mu\\
    B^\mu
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    \cos\theta_W & \sin\theta_W\\
    -\sin\theta_W& \cos\theta_W
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    Z^\mu\\
    A^\mu
  \end{pmatrix}.
\end{equation}
donde $\theta_{W}$, es el ángulo de rotación débil (Weak de sus siglas en inglés) y $Z^{\mu}$ es el otro campo que resulta de la rotación a la nueva base que define al fotón $A^{\mu}$.
Aplicando esta rotación a~\eqref{eq:lazl}, tenemos que
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\label{eq:brot}
  \mathcal{L}_{A Z L}=& \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[g_2 T_3(c_W Z_\mu+s_W A_\mu)+{g_1}\,Y_L(-s_W Z_\mu+c_W A_\mu)\right]L \nonumber\\
    &+g_1 Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R} (-s_W Z_\mu+c_W A_\mu)\nonumber\\
     =& \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[g_2 T_3c_W Z_\mu+g_2 T_3s_W A_\mu-{g_1}\,Y_Ls_W Z_\mu+{g_1}\,Y_Lc_W A_\mu\right]L\nonumber\\
&-g_1 s_W Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R}Z_{\mu}  +g_1 c_W Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R}A_{\mu}  \nonumber\\
    =& \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[\left(g_2 c_WT_3-{g_1}s_W\,Y_L\right)Z_\mu
       +\left(g_2 s_W T_3+{g_1}c_W\,Y_L\right) A_\mu\right]L \nonumber\\
&-g_1 s_W Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R}Z_{\mu}  +g_1 c_W Y_R\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu  {e_R}A_{\mu}  \,,
\end{align}
donde $c_W=\cos\theta_W$, $s_W=\sin\theta_W$. 

Para identificar $A_{\mu}$ con el fotón, debemos imponer la condición
\begin{align}
  \label{eq:relgn}
e\widehat{Q}=g_2 s_W T_3+{g_1}c_W\,\widehat{Y}\,.
\end{align}
De este modo
\begin{align}
  e\widehat{Q}L =& \left(g_2 s_W T_3+{g_1}c_W\,\widehat{Y}\right) L \nonumber\\
=& \left(g_2 s_W T_3+{g_1}c_W\,Y_L\right) L \,,
\end{align}
Usando la definición de $L$ tenemos que
\begin{align}
 e
  \begin{pmatrix}
    Q_{\nu} \nu_L\\
       Q_e e_L 
 \end{pmatrix}=
    e\begin{pmatrix}
   0\\
      Q_e e_L \\
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
   \left( \frac{1}{2}g_2 s_W +g_1 c_W Y_L \right) \nu_L\\ 
 \left(  -\frac{1}{2}g_2 s_W +g_1 c_W Y_L \right) e_L
  \end{pmatrix}
\end{align}
Igualando los coeficientes que acompañan los campos resultan las dos condiciones
\begin{align}
  \label{eq:g2sw}
  0= & \frac{1}{2}g_2 s_W +g_1 c_W Y_L  \\
    \label{eq:YL}
e Q_e=& \left(  -\frac{1}{2}g_2 s_W +g_1 c_W Y_L \right)
\end{align}
una tercera condición surge de imponer que el electrón derecho se acople apropiadamente al fotón
\begin{align}
  \label{eq:erel}
 e\widehat{Q} e_R =& \left(g_2 s_W T_3+{g_1}c_W\,\widehat{Y}\right) e_R\nonumber\\  
e Q_e e_R=& g_1 c_W\,Y_R \, e_R\,.
\end{align}
\end{frame}
con estas condiciones podemos despejar tres incógnitas que corresponden a $g_1c_W$, $g_2s_W$ y $Y_L$.
La primera de ellas la podemos obtener de 
igualar los coeficientes que acompañan los campos para la tercera condición, teniendo en cuenta que $\widehat{Q}=\widehat{Y}$ para los campos derechos los cuales no participan de la interacción
débil asociada a $\operatorname{SU}(2)_L$
\begin{align}
  e=g_1 c_W\,.
\end{align}
Reemplazando en \eqref{eq:g2sw}
\begin{align}
  g_2 s_W = -2e Y_L\,,
\end{align}
y reemplazando ambos resultado en \eqref{eq:YL}, obtenemos
\begin{align}
  eQ_e=-\frac{1}{2} e+eY_L\,,
\end{align}
de donde podemos despejar $Y_L$ 
\begin{align}
  Y_L=Q_e+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\,.
\end{align}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El resultado final es entonces
\begin{align}
\label{eq:esc}
 Y_L=&-\frac{1}{2}\,,&   e=&g_2\sin\theta_W=g_1 \cos\theta_W\,.
\end{align}
Note que el valor para la hipercarga es consistente con el que se obtiene de exigir el Lagrangiano de Yukawa completo para una familia de modelo estándar en la ec.~\eqref{eq:yyy}.
La segunda ecuación se puede reemplazar en la ec.~\eqref{eq:relgn} para obtener la predicción en término de los generadores diagonales
\begin{align}
\label{eq:gn}
 \widehat{Q}=&T_3+\widehat{Y}\,,
\end{align}
\end{frame}
la cual es válida para cualquier campo fermiónico.

La ec. \eqref{eq:gn}, se conoce como la relación de Gell-Mann--Nishijima, y junto con~\eqref{eq:esc}, establece las condiciones que se deben satisfacer para obtener apropiadamente la QED a partir de la interacción electrodébil asociada al grupo semisimple $\operatorname{SU}(2)_L\times  U(1)_Y$.

\noindent
\textbf{Ejercicio}: Demostrar que los valores numéricos de las hipercargas en \eqref{eq:yyy} son consistentes con la relación de Gell-Mann--Nishijima \eqref{eq:gn}:
\begin{align}
 \widehat{Q}=&T_3+\widehat{Y}\,.
\end{align}


De la segunda ecuación  \eqref{eq:esc}, podemos expresar el ángulo $\theta_W$ en términos de $g_1$ y $g_2$ como
\begin{align}
\label{eq:twa}
  \tan\theta_W=\frac{g_1}{g_2}\,.
\end{align}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
A modo de ilustración podemos comprobar
los valores numéricos para $Y_L$ y $Y_R$ usando directamente la relación de Gell-Mann--Nishijima \eqref{eq:gn}
\begin{align}
  \widehat{Q}L=&(T_3+Y_L)L \nonumber\\
  \begin{pmatrix}
    Q_\nu & 0\\
    0  & Q_e
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    \nu_L\\
    e_L
  \end{pmatrix}=  
  \begin{pmatrix}
   Q_{\nu} \nu_L\\
   Q_e e_L
  \end{pmatrix}
= & \begin{pmatrix}
    \frac{1}{2} + Y_L & 0\\
    0  & -\frac{1}{2}+Y_L
  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}
    \nu_L\\
    e_L
  \end{pmatrix} \,,
\end{align}
de modo que
\begin{align}
  Q_{\nu}&=0=\frac{1}{2}+Y_L\,, & Q_e&=-1=-\frac{1}{2}+Y_L\,,
\end{align}
lo cual  requiere que
\begin{align}
  Y_L=\frac{1}{2}\,.
\end{align}
De la misma forma
\begin{align}
  Y_R=Q_e=-1\,.
\end{align}
\end{frame}
Note que para campos derechos la hipercarga coincide con la carga eléctrica.

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Usando la relación entre $g_2$ y ${g_1}$~\eqref{eq:twa} en ~\eqref{eq:brot}
\begin{align}
    \mathcal{L}_{A Z L}
=&g_2 s_W \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[\left(\cot\theta_WT_3- \tan\theta_W\,Y_L\right)Z_\mu
       +\left(T_3+Y_L\right) A_\mu\right]L \nonumber\\
&+g_2 s_W \left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu \left[ \left(0 -\tan\theta_W  Y_R  \right) Z_{\mu}  +\left( 0+ Y_R \right)  A_{\mu} \right]{e_R}\,,
\end{align}
donde hemos puesto explícitamente el cero correspondiente a: $T_3 e_R= 0 \,e_R$.

Como el generador asociado a $A_\mu$ debe ser el generador de carga eléctrica, podemos usar la primera ecuación en~\eqref{eq:esc}:
\begin{align}
  e=g_2\sin\theta_W\,,
\end{align}
y si además definimos
\begin{align}
  \mathcal{L}_{E}=g_2 s_W \left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu \left[ \left(0 -\tan\theta_W  Y_R  \right) Z_{\mu}  +\left( 0+ Y_R \right)  A_{\mu} \right]{e_R}\,,
\end{align}
tenemos que
\begin{align}
\label{eq:lazlf}
    \mathcal{L}_{A Z L}
=&e \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left(\cot\theta_W T_3-\tan\theta_W\,Y_L\right)L Z_\mu
       +e \widetilde{L}\cdot\gamma^\mu \widehat{Q} L A_\mu+\mathcal{L}_E\nonumber\\
=&e \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[\cot\theta_W T_3-\tan\theta_W\left(\widehat{Q}-T_3\right)\right]L Z_\mu
       +e \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu \widehat{Q} L A_\mu + \mathcal{L}_E\nonumber\\
=&\phantom{+}\frac{e}{2c_W s_W} \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[ \tau_3-2s_W^2\widehat{Q}\right]L Z_\mu
       +e \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu \widehat{Q} L A_\mu \nonumber\\
&+\frac{e}{2c_W s_W} \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu\left[ 0-2s_W^2\widehat{Q}\right]e_R\, Z_\mu
       +e \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu \widehat{Q} e_R\, A_\mu \nonumber\\
=&\mathcal{L}_{ZL}+\mathcal{L}^{\text{int}}_{\text{QED}} \,,
\end{align}
donde
\begin{align}
  \label{eq:LQED}
     \mathcal{L}^{\text{int}}_{\text{QED}}=&e \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu \widehat{Q} L A_\mu+
e \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu \widehat{Q} e_R\, A_\mu \\
\mathcal{L}_{ZL}=&\frac{e}{2c_W s_W} \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[ \tau_3-2s_W^2\widehat{Q}\right]L Z_\mu
+\frac{e}{2c_W s_W} \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu\left[ 0-2s_W^2\widehat{Q}\right]e_R\, Z_\mu\,.
\end{align}
Como las expresiones están en términos de los generadores como operadores, deberían ser válidas para otros conjuntos apropiados de fermiones para ser definidos más adelante.


De  la ecuación \eqref{eq:LQED}
\begin{align}
     \mathcal{L}^{\text{int}}_{\text{QED}}=&e \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu \widehat{Q} L A_\mu+
e \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu \widehat{Q} e_R\, A_\mu \nonumber\\
=&-e \left[ \left( e_L \right)^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu \ e_L + \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu \ e_R  \right]A_{\mu}\,,
\end{align}
y la interacción de la electrodinámica cuántica se recupera satisfactoriamente.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Para obtener la interacción requerida de los $W^{\pm}$ con el $\nu_L$ y $e_L$ dada en la ec~\eqref{eq:lwl} y genera el fotón con las propiedades adecuadas resumidas en la ec.~\eqref{eq:LQED}, el modelo gauge local $\operatorname{SU}(2)_L\times \operatorname{U}(1)_Y$ predice entonces la existencia de nuevas interacciones con un nuevo bosón gauge $Z_{\mu}$ dadas por
\begin{align}
  \label{eq:zneus}
\mathcal{L}_{ZL}
=&\frac{e}{2c_W s_W} \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[ \tau_3-2s_W^2\widehat{Q}\right]L Z_\mu
+\frac{e}{2c_W s_W} \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu\left[ 0-2s_W^2\widehat{Q}\right]e_R\, Z_\mu \nonumber\\
  =&\frac{e}{2c_W s_W} \left\{ \left( \nu_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu \nu_L
    + \left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu\left[ -1+2s_W^2\right]e_L
     +2s_W^2 \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu e_R 
     \right\}Z_\mu \nonumber\\
 =&\frac{e}{2c_W s_W} \left\{ \left( \nu_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu \nu_L
    - \left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu e_L 
    +2s_W^2 \left[\left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu e_L+
    \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu e_R    \right]  
     \right\}Z_\mu\,.     
\end{align}
\end{frame}
Vemos entonces que el $Z_{\mu}$ tiene acoplamientos a las partes izquierdas
de los leptones y otro acoplamiento que no diferencia partes izquierdas y derechas similar al del fotón, pero
suprimido por $2\sin^2\theta_W$.


Una predicción bastante concreta es que los neutrinos izquierdos se acoplan con el nuevo bosón gage neutro a través del término de interacción
\begin{align}
\mathcal{L}_{Z\nu}=  \frac{e}{2c_W s_W}\left( \nu_L \right)^{\dagger} \overline{\sigma}^{\mu} \nu_L Z_\mu\,,
\end{align}
que implica la existencia de corrientes neutras en carga eléctrica y por lo tanto abren la posibilidad de un desbalance de energía completo en colisiones electrón positrón. Dichas corrientes fueron medidas en 1971 y permitieron una primera determinación de los valores experimentales para $g_2$ y $\theta_W$.


Resumiendo
\begin{align}
  \label{eq:fermlep}
  \mathcal{L}_{\text{fermion}}^{\text{lepton}}=& i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+  i \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu e_R \nonumber\\
 =&\mathcal{L}_{\text{kinetic}}+
\mathcal{L}_{WL}+\mathcal{L}^{\text{int}}_{\text{QED}}+ \mathcal{L}_{ZL}\,,
\end{align}
dados en las ecs.~\eqref{eq:knt}, \eqref{eq:lwl}, \eqref{eq:LQED} y \eqref{eq:zneus}.


Note que a este nivel el bosón gauge $Z_{\mu}$ es no masivo. Sin embargo para explicar porque dicha interacción no había sido observada al momento de su predicción se tiene que asumir que el bosón gauge $Z_{\mu}$ debe ser muy masivo para que la interacción sea de corto alcance y por consiguiente suprimida con respecto a la de bosones gauge sin masa. 

Por lo tanto, para obtener una teoría realista se debe adicionar un mecanismo de ruptura espontánea de simetría para dar masa a los tres bosones $W_{\mu}^{+}$, $W_{\mu}^{-}$ y $Z_{\mu}$. Dicho mecanismo será discutido en la Sección~\ref{sec:el-gauge-unitario}.



\subsection{El gauge unitario}
\label{sec:el-gauge-unitario}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Retornando al doblete de Higgs del modelo estándar en la ec.~\eqref{eq:polarhiggs}, los cuatro grados de libertad de $\Phi$, pueden escribirse en forma polar con la parte real neutra desplazada para generar la ruptura espontánea de la simetría $\operatorname{SU}(2)_L\times  U(1)_Y$. De este modo, y sin perdida de generalidad
\begin{align}
\label{eq:92qft}
  {\Phi}=  \begin{pmatrix}
    \phi^+\\
    \phi^0
  \end{pmatrix}=&e^{i G_j(x)T^j}
  \begin{pmatrix}
    0\\
    \frac{1}{\sqrt{2}}[H(x)+v]
  \end{pmatrix}.
\end{align}

Para $\operatorname{SU}(2)_L\times  U(1)_Y$ tenemos cuatro generadores y cuatro bosones gauge. De acuerdo a la parametrización en ec.~\eqref{eq:92qft} esperamos que aparezcan tres bosones de Goldstone y un campo de Higgs con masa, de manera que quedará un generador no roto correspondiente a una simetría remanente del vacío $U(1)_Q$
\begin{equation}
  \operatorname{SU}(2)_L\times  U(1)_Y\overset{\langle\widetilde{\Phi}\rangle}{\longrightarrow}U(1)_Q.
\end{equation}

Se espera entonces que el espectro consista de un bosón de Higgs, tres bosones gauge masivos, y un bosón gauge sin masa.

Podemos hacer una transformación gauge similar a la de la 
%DEBUG: corregir
ec.~\eqref{eq:93qft} sobre el campo $\widetilde{\Phi}$, tal que
\begin{equation}
  \label{eq:123qft}
    {\Phi}\to{\Phi}'=
  \begin{pmatrix}
    0\\
    \frac{1}{\sqrt{2}}(H(x)+v)
  \end{pmatrix},
\end{equation}
que define el \emph{gauge unitario}. En adelante sin embargo omitiremos las primas sobre los campos transformados ${\Phi}'$ y $W'_{\mu\nu}$.

Comenzaremos analizando la parte escalar del Lagrangiano del Modelo dada en la ec.~\eqref{eq:smscalar} en el gauge unitario
\begin{align}
  \mathcal{L}_{WBH}
  =&\widetilde{\left( \mathcal{D}_\mu{\Phi} \right)}\cdot\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi-\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2 \nonumber\\
  =&\frac{1}{2}\widetilde{\left[\mathcal{D}^\mu \begin{pmatrix}
    0\\
    H(x)+v
  \end{pmatrix}\right]}\cdot \mathcal{D}_\mu\begin{pmatrix}
    0\\
    H(x)+v
  \end{pmatrix}-V(H)\,,
\end{align}
donde $V(H)$ dado en la ec.~\eqref{eq:higgspot}, incluye el término de masa para el bosón de Higgs \eqref{eq:higgsmass}:
\begin{equation}
  m_H^2=2\left|\mu^2\right|=2\lambda v^2
\end{equation}
De la ec.~\eqref{eq:w22}
\begin{align}
      W_\mu=&\begin{pmatrix}
    \frac{1}{2}W_3&\frac{1}{\sqrt{2}}W^+_\mu\\
    \frac{1}{\sqrt{2}}W^-_\mu&-\frac{1}{2}W^3_\mu
  \end{pmatrix}.
\end{align}
$\mathcal{D}_\mu$ corresponde a la matrix $2\times  2$, dada en la ec.~\eqref{eq:d22}, con el reemplazo
\begin{align}
\mp\frac{i}{2}g_2 W^3_\mu\to  -i\left(\pm\frac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{g_1}Y B_\mu\right)
\end{align}

\begin{align}
  \label{eq:dercovsu2L}
 \mathcal{D}_\mu &=  \begin{pmatrix}
    \partial_\mu-i\left(\frac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{\color{red}{g_1} Y B_\mu}\right)&-\frac{i}{\sqrt{2}}g_2 W^+_\mu\\
    -\frac{i}{\sqrt{2}}g_2 W^-_\mu&\partial_\mu-i\left(-\frac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{\color{red}{g_1}Y B_\mu}\right)
  \end{pmatrix}.
\end{align}

Entonces
\begin{align}
\mathcal{D}_\mu \begin{pmatrix}
    0\\
    H(x)+v
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -\frac{i}{\sqrt{2}}g_2 W_\mu^+(H+v)\\
    \partial_\mu H-i\left(-\frac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B_\mu}\right)(H+v)
  \end{pmatrix}.
\end{align}

El correspondiente productor escalar $\operatorname{\operatorname{SU}}(2)_L$ es:
\begin{align}
  \mathcal{L}_{WBH}=&\frac{1}{2}\widetilde{\begin{pmatrix}
    -\frac{i}{\sqrt{2}}g{W^\mu}^+(H+v)\\
    \partial^\mu H-i\left(-\frac{1}{2}g_2 W_3^\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B^\mu}\right)(H+v)
  \end{pmatrix}}\cdot
   \begin{pmatrix}
    -\frac{i}{\sqrt{2}}gW_\mu^+(H+v)\\
    \partial_\mu H-i\left(-\frac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B_\mu}\right)(H+v)
  \end{pmatrix}-V(H)\nonumber\\
=&\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
    \partial^\mu H+i\left(-\frac{1}{2}gW_3^\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B^\mu}\right)(H+v)\\
    \frac{i}{\sqrt{2}}g_2{W^\mu}^-(H+v)\\
  \end{pmatrix}\cdot
  \begin{pmatrix}
    -\frac{i}{\sqrt{2}}g_2 W_\mu^+(H+v)\\
    \partial_\mu H-i\left(-\frac{1}{2}gW^3_\mu+\color{red}{g_1 Y_{\widetilde{\Phi}} B_\mu}\right)(H+v)
  \end{pmatrix}-V(H)\nonumber\\
  =&\frac{1}{4}g^2{W^\mu}^-W_\mu^+(H+v)^2-V(H)\nonumber\\
  &+\frac{1}{2}\left[\partial^\mu H+i\left(-\tfrac{1}{2}gW_3^\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B^\mu}\right)(H+v)\right]
  \times\nonumber\\
  &\qquad\left[\partial_\mu H-i\left(-\tfrac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B_\mu}\right)(H+v)\right]\nonumber\\
 =&-V(H)
  +\frac{1}{4}g^2{W^\mu}^-W_\mu^+(H+v)^2+\nonumber\\
  &+\frac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H+\frac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}g_2 W_3^\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B^\mu}\right)^2(H+v)^2
\end{align}
donde la última línea corresponde a la magnitud del ``número'' complejo: 
\begin{align}
\left[\partial_\mu H-i\left(-\tfrac{1}{2}g_2 W^3_\mu+{\color{red}{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} B_\mu}\right)(H+v)\right]
\end{align}

\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]

Entonces
\begin{align}
  \label{eq:96qft}
  \mathcal{L}_{WBH}=&\frac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H-V(H)
  +\frac{g_2^2v^2}{4}{W^\mu}^-W_\mu^+ \left( \frac{H}{v}+1 \right)^2+\mathcal{L}_{Z A H}\,,
\end{align}
donde
\begin{align}
  \mathcal{L}_{ZAH}=&\frac{1}{2}\left(\tfrac{1}{4}g_2^2W_3^\mu W^3_\mu-{\color{red}g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} W_3^\mu B_\mu+g_1^2 Y_{\widetilde{\Phi}} ^2B^\mu B_\mu}\right)
\left(H+v\right)^2 \nonumber\\
  =&\frac{1}{2}\left(\tfrac{1}{4}g_2^2W_3^\mu W^3_\mu-{\color{red}\tfrac{1}{2}g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} W_3^\mu B_\mu-\tfrac{1}{2}g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}} W_3^\mu B_\mu+{{g_1}}^2Y_{\widetilde{\Phi}} ^2B^\mu B_\mu}\right)
\left(H+v\right)^2.
\end{align}
Esta ecuación se puede reescribir en forma matricial en la base $
\begin{pmatrix}
  W^3_\mu & B_\mu
\end{pmatrix}^{\operatorname{T}}
$, como
\begin{align}
  \mathcal{L}_{ZAH}=\frac{v^2}{4}
  \begin{pmatrix}
    W^\mu_3 & B^\mu
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    \frac{1}{2}g^2_2&\color{red}-g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}}\\
    \color{red}-g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}}&\color{red}2g_1^2 Y_{\widetilde{\Phi}}^2
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    W^3_\mu\\
    B_\mu
  \end{pmatrix}
\left(\frac{H}{v}+1\right)^2\,.
\end{align}
Como la matriz $2\times 2$ tiene determinante cero:
\begin{align}
  \left|\begin{matrix}
    \frac{1}{2}g^2_2&\color{red}-g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}}\\
    \color{red}-g_2{g_1}Y_{\widetilde{\Phi}}&\color{red}2g_1^2 Y_{\widetilde{\Phi}}^2
  \end{matrix}\right|=g_2^2\color{red}g_1^2  Y_{\widetilde{\Phi}}^2-  g_2^2 g_1^2 Y_{\widetilde{\Phi}}^2=0\,,
 \end{align}
independiente de la hipercarga $Y_{\widetilde{\Phi}}$, quiere decir que tiene un autovalor cero que identificaremos como las masa nula del fotón.


Para facilitar dicho análisis haremos $Y_{\widetilde{\Phi}} =1/2$ como en la ec.~\eqref{eq:yyy},
\begin{align}
  \mathcal{L}_{ZAH}=\frac{1}{2}\frac{v^2}{4}
  \begin{pmatrix}
    W^\mu_3 & B^\mu
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    g^2_2&-g_2{g_1}\\
    -g_2{g_1}&g_1^2
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    W^3_\mu\\
    B_\mu
  \end{pmatrix}
\left(\frac{H}{v}+1\right)^2\,.
\end{align}
Sea
\begin{equation}
  V=\begin{pmatrix}
    \cos\theta_W & \sin\theta_W\\
    -\sin\theta_W& \cos\theta_W
  \end{pmatrix}=
  \frac{1}{\sqrt{g^2_2+g_1^2}}\begin{pmatrix}
    g_2   & {g_1}\\
    -{g_1} & g_2
  \end{pmatrix},
\end{equation}
con $\tan\theta_W={g_1}/g$, tal que $g\sin\theta_W={g_1}\cos\theta_W$, como en la ec.~\eqref{eq:esc}. De esta forma podremos comprobar si la misma condición que hace que los neutrinos no se acoplen con el fotón, garantiza el campo neutro $H$ tampoco se acopla directamente con el fotón. 

Note que $V$ es una matrix ortogonal que satisface $VV^T=V^TV=\mathbf{1}$. Si (ver ec.~\eqref{eq:rottw}),
\begin{align}
  \begin{pmatrix}
    W^3_\mu\\
    B_\mu
  \end{pmatrix}=&V
  \begin{pmatrix}
    Z_\mu\\
    A_\mu
  \end{pmatrix}&\text{ó}\qquad
  \begin{pmatrix}
    Z_\mu\\
    A_\mu
  \end{pmatrix}=&V^T
  \begin{pmatrix}
    W^3_\mu\\
    B_\mu
  \end{pmatrix}
\end{align}
entonces
\begin{align}
  \mathcal{L}_{ZAH}=&\frac{1}{2}\frac{v^2}{4}
  \begin{pmatrix}
    W^{3\mu} & B^\mu
  \end{pmatrix}VV^T
  \begin{pmatrix}
    g^2&-g_2{g_1}\\
    -g_2{g_1}&g_1^2
  \end{pmatrix}VV^T
  \begin{pmatrix}
    W^3_\mu\\
    B_\mu
  \end{pmatrix}
\left(\frac{H}{v}+1\right)^2\nonumber\\
=&\frac{1}{2}\frac{v^2}{4}
  \begin{pmatrix}
    Z^\mu & A^\mu
  \end{pmatrix}\left[V^T
  \begin{pmatrix}
    g_2^2&-g_2{g_1}\\
    -g_2{g_1}&g_1^2
  \end{pmatrix}V\right]
  \begin{pmatrix}
    Z_\mu\\
    A_\mu
  \end{pmatrix}
\left(\frac{H}{v}+1\right)^2
\end{align}
\begin{align}
  V^T
  \begin{pmatrix}
    g_2^2&-g_2{g_1}\\
    -g_2{g_1}&{{g_1}}^2
  \end{pmatrix}V=&\frac{1}{g_2^2+{{g_1}}^2}
  \begin{pmatrix}
    g_2^3+g{{g_1}}^2 & -g_2^2{g_1}-{{g_1}}^3\\
+g_2^2{g_1}-g_2^2{g_1}    &-g_2 g_1^2+g_2 g_1^2
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    g_2   & {g_1}\\
    -{g_1} & g_2
  \end{pmatrix}\nonumber\\
=&\frac{1}{g_2^2+{{g_1}}^2}
  \begin{pmatrix}
    g_2^3+g_2 g_1^2 & -g_2^2{g_1}-g_1^3\\
    0   &0
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    g_2   & {g_1}\\
    -{g_1} & g_2
  \end{pmatrix}\nonumber\\
=&\frac{1}{g_2^2+{{g_1}}^2}
  \begin{pmatrix}
    g_2^4+g^2 g_1^2+g_2^2 g_1^2+g_1^4 & g_2^3{g_1}+g_2 g_1^3-g_2^3{g_1}-g_2 g_1^3\\
    0    &0
  \end{pmatrix}\nonumber\\
=&\begin{pmatrix}
    g_2^2+g_1^2 & 0\\
    0    &0
  \end{pmatrix}
\end{align}
De este modo

\begin{align}
  \mathcal{L}_{ZAH}&=\frac{1}{2}\frac{v^2}{4}\left(g_2^2+g_1^2\right)Z^\mu Z_\mu
  \left(\frac{H}{v}+1\right)^2\nonumber\\
 &=\frac{1}{2}\left(\frac{g_2v}{2}\right)^2\left(1+\tan^2\theta_W\right)Z^\mu Z_\mu
             \left(\frac{H}{v}+1\right)^2\nonumber\\
   &=\frac{1}{2}\left(\frac{g_2v}{2\cos\theta_W}\right)^2Z^\mu Z_\mu\left(\frac{H}{v}+1\right)^2\,.
\end{align}
Retornando a la ec.~(\ref{eq:96qft}), tenemos
tenemos
\begin{align}
  \label{eq:lwbhfin}
  \mathcal{L}_{W B H}=&\widetilde{\left( \mathcal{D}_\mu{\Phi} \right)}\cdot\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi-\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2 \nonumber\\
  =&\frac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H-V(H)\nonumber\\
  &+\frac{1}{2}m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^+ \left(\frac{H}{v}+1 \right)^2
    +\frac{1}{2}m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^+\left(\frac{H}{v}+1 \right)^2
    +\frac{1}{2}m_Z^2Z^\mu Z_\mu\left(\frac{H}{v}+1 \right)^2,
\end{align}
donde el termino $1$ en la expansión binomial $\left({H}/{v}+1 \right)^2$ corresponde al
término de masa en cada caso:
%instiki:
\begin{itemize} %noinstiki
\item Masas gauge:
\begin{equation}
\label{eq:mwz}
  m_W=\frac{g_2v}{2}
  \qquad 
  m_Z=\frac{g_2v}{2\cos\theta_W},
\end{equation}
y
\begin{equation}
\label{eq:mwzw}
  m_Z=\frac{m_W}{\cos\theta_W}.
\end{equation}
\item Ver eq.~\eqref{eq:higgspot}
  \begin{align}
    V(H)=&\tfrac{1}{2}m_H^2H^2+\lambda vH^3+\tfrac{1}{4}\lambda H^4\nonumber\\
    =&\frac{1}{2}m_H^2 H^2\left( \frac{H}{2v}+ 1 \right)^2\,,
  \end{align}
con
\begin{equation}
  m_H^2=-2\mu^2=2\lambda v^2,
\end{equation}
además:
\item 
\begin{equation}
\label{eq:azmix}
  \begin{pmatrix}
    W^3_\mu\\
    B_\mu
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    \cos\theta_W & \sin\theta_W\\
    -\sin\theta_W& \cos\theta_W
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    Z_\mu\\
    A_\mu
  \end{pmatrix},
\end{equation}
tal que
\begin{equation}
  \label{eq:tw}
  g_2\sin\theta_W={g_1}\cos\theta_W\,.
\end{equation}
\end{itemize} %noinstiki
%instiki:

\end{frame}

\bigskip
\noindent
\textbf{Ejercicio}: Demostrar que

\begin{align}
  \mathcal{L}_{\text{fermion}}^{\text{lepton}}=& i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+  i \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu e_R \nonumber\\
 =&\mathcal{L}_{\text{kinetic}}+
\mathcal{L}_{WL}+\mathcal{L}^{\text{int}}_{\text{QED}}+ \mathcal{L}_{ZL}\,,
\end{align}
dados en las ecs.~\eqref{eq:knt}, \eqref{eq:lwl}, \eqref{eq:LQED} y \eqref{eq:zneus}, usando directamente la expresión para la derivada covariante para un doblete, en esta caso $L$, dada  en la ec.~\eqref{eq:dercovsu2L}.


\subsection{Auto interacciones}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El Lagrangiano gauge
\begin{align}
  \mathcal{L}_{\text{gauge}}=& -\tfrac{1}{4}G^{\mu\nu}_a G_{\mu\nu}^a-\tfrac{1}{4}W^{\mu\nu}_i W_{\mu\nu}^i-\tfrac{1}{4}B^{\mu\nu} B_{\mu\nu}\,,
\end{align}
Se debe expresar en la base de $Z_\mu$, $A_\mu$. Los detalles están en \url{https://www.overleaf.com/read/pxkqqdhrqyrk}
\begin{align}
\label{eq:lgaguefin}
\mathcal{L}_{\text{gauge}}=&  -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}-\tfrac{1}{4}Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}(F_W^\dagger)^{\mu\nu} (F_W)_{\mu\nu}
- \tfrac{1}{4}\widetilde{G}^{\mu\nu}_a \widetilde{G}_{\mu\nu}^a\nonumber\\
&-ie\cot\theta_W\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ Z_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- Z_\nu+W_\mu^-W_\nu^+Z^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-ie\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ A_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- A_\nu+W_\mu^-W_\nu^+F^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}\left[\left(W_\mu^+{W^\mu}^-\right)^2-W_\mu^+{W^\mu}^+W_\nu^-{W^\nu}^-\right] \nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(W_\mu^+{W^\mu}^-Z_\nu Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-Z^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(2W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu Z^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\left(W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu A^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-A^\nu\right),
\end{align}
donde
\begin{align}
  {F}^{\mu\nu}=&\partial^\mu A^\nu_a-\partial^\nu A^\mu\,, &  (F_W)_{\mu\nu}=&\partial_\mu W^+_\nu-\partial_\nu W^+_\mu\nonumber\\
  {Z}^{\mu\nu}=&\partial^\mu Z^\nu_a-\partial^\nu Z^\mu\,,& &% \widetilde{G}^{\mu\nu}=&\partial^\mu G^\nu_a-\partial^\nu G^\mu\,.
\end{align}

\end{frame}


\subsection{Lagrangiano  de Yukawa para leptones}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
En el gauge unitario
\begin{align}
  \label{eq:lyuklep}
  \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}^{\text{lepton}}=& h_e \left( e_R \right)^{\dagger}\,\epsilon^{ab}L_a\widetilde{\Phi}_b+\text{h.c}\nonumber\\
=&\frac{h_e}{\sqrt{2}}\left[\left( e_L \right)^{\dagger}e_R+\left( e_R \right)^{\dagger}e_L\right]
\left[H(x)+v\right]\nonumber\\
=&\frac{h_ev}{\sqrt{2}}\left[\left( e_L \right)^{\dagger}e_R+\left( e_R \right)^{\dagger}e_L\right]
\left[\frac{H(x)}{v}+1\right].
\end{align}
Note que de forma autoconsistente
\begin{align}
 -Y_R+ Y_L-Y_{\Phi}= -Q_e+ Y_L-Y_{\Phi}=1-1/2-1/2=0\,.
\end{align}


Definiendo
\begin{align}
  m_e=\frac{h_ev}{\sqrt{2}}
\end{align}
tenemos
\begin{align}
\label{eq:lyuklr}
  \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=&m_e (e_L)^{\dagger}e_R
+\frac{m_e}{v}  (e_L)^{\dagger}e_RH
+\text{h.c}\,.
\end{align}

Definiendo los fermiones de Dirac, términos de espinores de Weyl como
\begin{align}
  e=
  \begin{pmatrix}
    e_L\\
    e_R
  \end{pmatrix},
\end{align}
y usando la ec.~\eqref{eq:mwd}, podemos escribir
\begin{align*}
\mathcal{L}=&m_e\,\overline{e}e
\left[\frac{H(x)}{v}+1\right] \nonumber\\
=&m_e\overline{e}e+
  \frac{m_e}{v}\overline{e}e H
\end{align*}
Vemos entonces que si la masa de los fermiónes no es fundamental sino
emergente, necesariamente se predice la existencia de interacciones
entre fermiones y el Higgs que son proporcionales a la masa del fermión
que recibe la masa desde la RES.
\end{frame}

\subsection{Lagrangiano completo para leptones}
Recopilando los resultados para 
$\mathcal{L}_{\text{fermion}}^{\text{lepton}}$ \eqref{eq:fermlep}, $\mathcal{L}_{WBH}$
\eqref{eq:lwbhfin}, $\mathcal{L}_{\text{gauge}}$ \eqref{eq:lgaguefin}, $\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}$ \eqref{eq:lyuklep}, y
 tenemos
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\label{eq:lsmwl}
   \mathcal{L}^{\text{lepton}}=&
  i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu L
  +i \left( e_R \right)^{*} {\sigma}^\mu\partial_\mu e_R 
+m_e \left[ \left( e_L \right)^{\dagger} e_R+\text{h.c} \right]\left( \frac{H}{v}+1\right)
\nonumber\\
&-\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}-\tfrac{1}{4}Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}(F_W^\dagger)^{\mu\nu} (F_W)_{\mu\nu}
\nonumber\\
&+\tfrac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H
-\frac{1}{2}m_H^2H^2\left(\frac{H}{2v}+1\right)^2\nonumber\\
&+\left(m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^++\frac{1}{2}m_Z^2Z^\mu Z_\mu\right)\left(\frac{H}{v}+1\right)^2\nonumber\\
 &+e \left( e_L \right)^{*}\cdot\overline{\sigma}^\mu e_L\, A_\mu
+e \left( e_R \right)^{*}{\sigma}^\mu e_R\, A_\mu \nonumber\\
&+\frac{e}{2\cos\theta_W \sin\theta_W}
\left\{
 \left( \nu_L \right)^{*}\overline{\sigma}^{\mu}\nu_L
-\left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^{\mu}e_L
+2\sin^2\theta_W \left[\left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^{\mu}e_L
+\left( e_R \right)^{*}{\sigma}^{\mu}e_R\right]
\right\} Z_\mu \nonumber\\
&+\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[(\nu_L)^* \overline{\sigma}^\mu e_LW_\mu^++\text{h.c}\right] \nonumber\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
%  \phantom{\mathcal{L}_{\text{1 gen}}=}
&-ie\cot\theta_W\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ Z_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- Z_\nu+W_\mu^-W_\nu^+Z^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-ie\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ A_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- A_\nu+W_\mu^-W_\nu^+F^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}\left[\left(W_\mu^+{W^\mu}^-\right)^2-W_\mu^+{W^\mu}^+W_\nu^-{W^\nu}^-\right]\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(W_\mu^+{W^\mu}^-Z_\nu Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-Z^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(2W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu Z^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\left(W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu A^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-A^\nu\right).
\end{align}
\end{frame}

\subsection{Notación de Dirac}
Consideremos alguno de los términos que involucra interacciones sólo entre fermiones izquierdos, como la parte $\operatorname{SU}(2)_L$ pura de la corriente de electrones con $Z^{\mu}$
\begin{align}
  \left( e_L \right) \overline{\sigma}^{\mu} e_L =& \tfrac{1}{2}\left( e_L \right) \overline{\sigma}^{\mu} e_L+ \tfrac{1}{2}\left( e_L \right) \overline{\sigma}^{\mu} e_L \nonumber\\
  =& \left[  \tfrac{1}{2}\left( e_L \right) \overline{\sigma}^{\mu} e_L+ \tfrac{1}{2}\left( e_R \right){\sigma}^{\mu} e_R\right] - \left[\tfrac{1}{2}\left( e_R \right){\sigma}^{\mu} e_R-\tfrac{1}{2}\left( e_L \right) \overline{\sigma}^{\mu} e_L
      \right]\,,
\end{align}
Ya sabemos que el primer corchete corresponde a una corriente vectorial de Lorentz, $\text{V}$. El segundo término corresponde a su vez a lo que
se conoce como corriente vectorial axial de Lorentz, $\text{A}$. De está manera, la corriente izquierda corresponde a una corriente tipo $\text{V-A}$. 

Para poder describir la corriente axial de campos de Weyl en términos de espinores de Dirac, debemos definir
\begin{align}
  \gamma_5=&i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 \nonumber\\
=&i
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \sigma^1\\
-\sigma^1 & 0  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \sigma^2\\
-\sigma^2 & 0  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \sigma^3\\
-\sigma^3 & 0  
\end{pmatrix}\nonumber\\
=&-i\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \sigma^1\\
-\sigma^1 & 0  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sigma_2\sigma_3 & 0\\
0 & \sigma_2\sigma_3
\end{pmatrix}\nonumber\\
=&-i\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \sigma_1\sigma_2\sigma_3 \\
-\sigma_1\sigma_2\sigma_3 & 0
\end{pmatrix}\nonumber\\
=&-i\begin{pmatrix}
-\sigma_1\sigma_2\sigma_3 & 0 \\
0 &\sigma_1\sigma_2\sigma_3\\
\end{pmatrix}\nonumber\\
=&\begin{pmatrix}
-\sigma_0 & 0 \\
0 &\sigma_0\\
\end{pmatrix}
\end{align}
donde
\begin{align}
  -\sigma_0=i\sigma_1\sigma_2\sigma_3\,,
\end{align}

Teniendo en cuenta que
\begin{align}
  -\sigma_0=i\sigma_1\sigma_2\sigma_3=&
  i\begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0 
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    0 & -i \\
    i & 0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & -1
  \end{pmatrix}\nonumber\\
  =&
  i\begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & -i 
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & -1
  \end{pmatrix}\nonumber\\
  =&i\begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & i
  \end{pmatrix}\nonumber\\
  =&-\mathbf{1}\,.
\end{align}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Entonces
\begin{align}
  \gamma_5=&
  \begin{pmatrix}
    -\mathbf{1} & 0\\
    0  & \mathbf{1}\\
  \end{pmatrix}& 
\end{align}

Con esto podemos definir los proyectores
\begin{align}
  P_L&=\frac{\mathbf{1}_{4\times4}-\gamma_5}{2} & P_R&=\frac{\mathbf{1}_{4\times4}+\gamma_5}{2}\,.
\end{align}
En adelante se dejará implicito el caracter $4\times4$ de la indentidad. 

Sea $\Psi$ un espinor de Dirac construido a partir de dos espinores de Weyl
\begin{align}
  \Psi=
  \begin{pmatrix}
   \psi_L\\
    \psi_R
  \end{pmatrix}.
\end{align}
Tenemos las sigientes propiedades
\begin{align}
   P_L \Psi=& \frac{1-\gamma_5}{2}\Psi & P_R \Psi=& \frac{1+\gamma_5}{2}\Psi \nonumber\\
   =&
   \begin{pmatrix}
    \mathbf{1} & 0 \\
     0 & 0
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   \psi_L\\
    \psi_R
  \end{pmatrix} & =&\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
     0 & \mathbf{1}
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   \psi_L\\
    \psi_R
  \end{pmatrix}\nonumber\\
  =& \begin{pmatrix}
   \psi_L\\
    0
  \end{pmatrix} & =& \begin{pmatrix}
   0\\
    \psi_R
  \end{pmatrix}\,,
\end{align}
Además,
as matrices $P_{L,R}$ tienen las propiedades
\begin{align}
  P_L+P_R&=1 & P_{L,R}^2&=P_{L,R}P_{L,R}=P_{L,R}\nonumber\\
  P_L P_R&=0& P_{L,R}^\dagger&=P_{L,R}\,.
\end{align}
Usando la ec.~(\ref{eq:218qft})
\begin{align}
  \label{eq:LRgammamu}
  P_{L,R}\gamma^\mu=\frac{1\mp\gamma_5}{2}\gamma^\mu=\gamma^\mu\frac{1\pm\gamma_5}{2}=\gamma^\mu P_{R,L}
\end{align}
Por consiguiente
\begin{align}
  \overline{\Psi_{L,R}}=&\left(\Psi_{L,R} \right)^{\dagger}\gamma^0 \nonumber\\
  =&\left(P_{L,R}\Psi \right)^{\dagger}\gamma^0 \nonumber\\
  =&\Psi^{\dagger}P_{L,R}\gamma^0 \,,
\end{align}
y usando \eqref{eq:LRgammamu}
\begin{align}
  \overline{\Psi_{L,R}}=& \Psi^{\dagger}\gamma^0 P_{R,L} \nonumber\\
=&\overline{\Psi} P_{R,L}\,.
\end{align}




De modo que
\begin{align}
  \overline{\Psi_L}\gamma^{\mu}\Psi_L=
    \overline{\Psi}P_R\gamma^{\mu}P_{L}\Psi=
  \overline{\Psi}\gamma^{\mu}P_L^2\Psi=
  \overline{\Psi}\gamma^{\mu}P_{L}\Psi=&\Psi^{\dagger}\gamma^0\gamma^{\mu}P_L \Psi \nonumber\\
=&  \begin{pmatrix}
     \psi_L^{\dagger} & \psi_R^{\dagger}  
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    0 & \mathbf{1} \\
    \mathbf{1} & 0 \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   0 & \sigma^{\mu}\\
   \overline{\sigma}^{\mu} & 0     
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \psi_L\\
     0      
  \end{pmatrix}\nonumber\\
=&  \begin{pmatrix}
     \psi_L^{\dagger} & \psi_R^{\dagger}  
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    0 & \mathbf{1} \\
    \mathbf{1} & 0 \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
     0\\
   \overline{\sigma}^{\mu}\psi_L\\
  \end{pmatrix}\nonumber\\
=&  \begin{pmatrix}
     \psi_L^{\dagger} & \psi_R^{\dagger}  
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \overline{\sigma}^{\mu}\psi_L\\
     0\\
  \end{pmatrix}\nonumber\\
=&   \psi_L^{\dagger} \overline{\sigma}^{\mu}\psi_L\,.
\end{align}
Similarmente
\begin{align}
\overline{\Psi_R}\gamma^{\mu}\Psi_R=\overline{\Psi}\gamma^{\mu}P_{R}\Psi=&   \psi_R^{\dagger} {\sigma}^{\mu}\psi_R\,.
\end{align}



Podemos extender ahora los resultados de la ec.~\eqref{eq:mwd} para corrientes escalaras y vectoriales. En términos de los campos de Weyl una corriente escalar (S), pseudoscalar (P), vectorial (V), axial (A),  V-A y V+A de espinores Dirac, se pueden escribir respectivamente como
\begin{align}
\label{eq:8}
\color{red}\text{S:} &&  \overline{\Psi}\Psi =& \left( \psi_R \right)^\dagger \psi_L+\left( \psi_L \right)^{\dagger}\psi_R \nonumber\\
\text{P:} &&  \overline{\Psi}\gamma_5\Psi =& \left( \psi_L \right)^{\dagger}\psi_R-\left( \psi_R \right)^\dagger \psi_L \nonumber\\
\color{red}\text{V:}& &  \overline{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi=& \psi_L^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\psi_L+\psi_R^{\dagger}\sigma^{\mu}\psi_{R}\nonumber\\
\text{A:}& &  \overline{\Psi}\gamma^{\mu}\gamma_5\Psi=&\psi_R^{\dagger}\sigma^{\mu}\psi_{R}- \psi_L^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\psi_L\nonumber\\
\color{red}\text{V-A:} && \overline{\Psi}\gamma^{\mu}P_L\Psi=& \psi_L^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\psi_L\nonumber\\
\text{V+A:} && \overline{\Psi}\gamma^{\mu}P_R\Psi=& \psi_R^{\dagger}{\sigma}^{\mu}\psi_R\,.
\end{align}


Para escribir el Lagrangiano en términos de espinores de 4 componentes, debemos reescribir los acoplamientos
fermiónicos del Lagrangiano en~\eqref{eq:lsmwl}. Entonces
\begin{align}
\label{eq:wf4}
  \overline{\nu_L}\gamma^\mu e_LW_\mu^+&=\overline{\nu}P_R\gamma^\mu P_LeW_\mu^+\nonumber\\
&=\overline{\nu}\gamma^\mu P_L^2eW_\mu^+\nonumber\\
&=\overline{\nu}\gamma^\mu P_LeW_\mu^+\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\overline{\nu}\gamma^\mu(1-\gamma_5)eW_\mu^+\,,
\end{align}
y además la parte $\mathcal{L}_{ZL}$ dada en la ec.~\eqref{eq:zneus}. Para poder tener las corrientes en términos de la ec. \eqref{eq:8}, debemos sumar y restar
$\frac{1}{2}\left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu e_R $ 
\begin{align}
  \mathcal{L}_{ZL}
  =&\frac{e}{2c_W s_W} \left\{ \left( \nu_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu \nu_L
     \phantom{\frac{1}{}2}\right. \nonumber\\
& \left. 
  +\frac{1}{2}\left[\left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu e_R-\left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu e_L
      \right]
      + \left( -\frac{1}{2} +2s_W^2 \right) \left[\left( e_L \right)^{*}\overline{\sigma}^\mu e_L+
    \left( e_R \right)^{\dagger}{\sigma}^\mu e_R    \right]  
     \right\}Z_\mu 
\end{align}
Claramente la corriente de neutrinos es del tipo $\text{V-A}$, pero la corriente
de electrones tiene dos contribuciones: una tipo $\text{A}$ con coeficiente $1/2$
y una tipo $\text{V}$ con coeficiente $-1/2+2\sin^2\theta_W$, como se muestra en la Tabla~\ref{tab:zcoup}.
Entonces
\begin{align}
    \mathcal{L}_{ZL}
  =&\frac{e}{2c_W s_W} \left\{ \overline{\nu}\gamma^{\mu}P_L\nu
       +\frac{1}{2} \overline{e} \gamma^{\mu} \gamma_5 e
      + \left( -\frac{1}{2} +2s_W^2 \right) \overline{e} \gamma^{\mu} e  
     \right\}Z_\mu \nonumber\\
  =&\frac{e}{2c_W s_W} \left\{
     \overline{\nu}\gamma^{\mu}\frac{\left( 1 -\gamma_5 \right)}{2}\nu
+ \overline{e} \gamma^{\mu} \left[ \left(- \frac{1}{2}+ 2s_W^2 \right) +\frac{1}{2}\gamma_5\right] e
     \right\}Z_\mu \nonumber\\
 =&\frac{e}{2c_W s_W} \left\{
     \overline{\nu}\gamma^{\mu}\frac{\left( 1 -\gamma_5 \right)}{2}\nu
+ \overline{e} \gamma^{\mu} \left[ \frac{\left( -1+4s_W^2 \right)+\gamma_5}{2}\right] e
     \right\}Z_\mu  \,,
\end{align}
Las otras corrientes del modelo con leptones son la corriente tipo $\text{S}$ generada por el Higgs, la tipo $\text{V}$ generada por el fotón
y la  $\text{V-A}$ generada por los bosones gauge cargados $W_{\mu}^{\pm}$.
\end{frame}
\subsection{Lagrangiano completo para leptones en notación de Dirac}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\label{eq:lsmw}
  \mathcal{L}_{\text{1 gen}}=&
  i\overline{\nu}\gamma^\mu\partial_\mu\nu                               
+  \overline{e}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m_e\right)e
 +\frac{m_e}{v}\overline{e}e H
\nonumber\\
&-\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}-\tfrac{1}{4}Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}(F_W^\dagger)^{\mu\nu} (F_W)_{\mu\nu}
\nonumber\\
&+\tfrac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H
-\frac{1}{2}m_H^2H^2\left(\frac{H}{2v}+1\right)^2\nonumber\\
&+\left(m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^++\frac{1}{2}m_Z^2Z^\mu Z_\mu\right)\left(\frac{H}{v}+1\right)^2\nonumber\\
 &+e\, \overline{e}\gamma^{\mu}e\, A_\mu \nonumber\\
 &+\frac{e}{2\cos\theta_W \sin\theta_W}                             
\left\{
\overline{\nu}\gamma^{\mu}\frac{\left( 1 -\gamma_5 \right)}{2}\nu
   + \overline{e} \gamma^{\mu} \left[ \frac{\left(-1+ 4s_W^2 \right)+\gamma_5}{2}\right]e
 \right\} Z_\mu \nonumber\\
 &+\frac{g_2}{2\sqrt{2}}\left[
\overline{\nu}\gamma^\mu(1-\gamma_5)eW_\mu^++\text{h.c}\right] \nonumber\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
%  \phantom{\mathcal{L}_{\text{1 gen}}=}
&-ie\cot\theta_W\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ Z_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- Z_\nu+W_\mu^-W_\nu^+Z^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-ie\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ A_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- A_\nu+W_\mu^-W_\nu^+F^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}\left[\left(W_\mu^+{W^\mu}^-\right)^2-W_\mu^+{W^\mu}^+W_\nu^-{W^\nu}^-\right]\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(W_\mu^+{W^\mu}^-Z_\nu Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-Z^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(2W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu Z^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\left(W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu A^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-A^\nu\right).
\end{align}
\end{frame}
Una vez fijados los acoplamientos fundamentales: $g_1$, $g_2$, $v$ y $\lambda$, los acoplamientos del Lagrangiano pasan a ser predicciones. Es de anotar que la mayoría de ellos ya han sido medidos en los valores predichos por el Lagrangiano anterior. Algunos de los observables asociados con dichos acoplamientos serán discutidos en la Sección~\ref{sec:fenom-electr}.


\section{Una teoría para la primera generación}

\subsection{Interacciones débiles Fermión-gauge }

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
De la ec.~\eqref{eq:L0} tenemos
\begin{align}
  \label{eq:lfermion}
  \mathcal{L}_{\text{fermion}}=&i \widetilde{Q}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu Q+i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+
i(e_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}+i(d_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {d_R}+i(u_R)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {u_R}\,.
\end{align}
Donde, 
\begin{align}
  \widetilde{Q}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu Q=&
  \epsilon_{ab}\widetilde{Q}^a\overline{\sigma}^\mu \left( \mathcal{D}_\mu Q \right)^b \nonumber\\
  \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L=&
  \epsilon_{ab}\widetilde{L}^a\overline{\sigma}^\mu \left( \mathcal{D}_\mu L \right)^b\,.
\end{align}

Note que las partes derechas involucran necesesariamente una simetría $\operatorname{U}(1)_Y$ de la que debemos obtener la interacción electromagnética entre fermiones derechos. Por eso la implementación la simetría $\operatorname{SU(2)}_L$ debe hacerce en el contexto del Grupo Gauge semisimple $\operatorname{SU(2)}_L\times \operatorname{U}(1)_Y$.


\subsection{Interacciones fermiónicas para la primera generación}


Generalizando para los otros campos, tenemos
\begin{align}
  \label{eq:azl}
      \mathcal{L}_{A Z L}\to\sum_{F=Q,L,e_R,d_R,u_R}
\left\{  \frac{e}{2c_W s_W}\widetilde{F}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\left[ \tau_3-2s_W^2 Q_F\right]F Z_\mu
       +e\widetilde{F}\cdot\overline{\sigma}^\mu Q_F F A_\mu\right\},
\end{align}
con
\begin{align}
  \widetilde{F}\cdot\overline{\sigma}^{\mu} \to F^{\dagger}\sigma^{\mu} \qquad \text{for}\quad F=e_R,d_R,u_R\,.
\end{align}




Generalizando para todos los campos:
\begin{align}
  \label{eq:wl}
   \mathcal{L}_{W L}\to&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[{\nu_L}^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu e_LW_\mu^++
{u_L}^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu d_LW_\mu^++\text{h.c}\right]\,.
\end{align}



Usando los acoplamientos gauge de los quarks con los gluones \eqref{eq:qcdgauge}, de los fermiones con el $W_\mu^\pm$  \eqref{eq:wl} y  con $Z_\mu$ y $A_\mu$ \eqref{eq:azl} para expandir $\mathcal{L}_{\text{fermion}}$ en \eqref{eq:lfermion}, tenemos
\begin{align}
\label{eq:sm1g2}
 \mathcal{L}_{\text{fermion}}=&i \widetilde{Q}\cdot \overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu Q+i \widetilde{L}\cdot\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu L+
i\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}+i(d_R)^\dagger \sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {d_R}+i(u_R)^\dagger \sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {u_R}\nonumber\\
  =&i(u_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu\partial_\mu u_L+i(u_R)^\dagger \sigma^\mu{\partial}_\mu {u_R}+i(d_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu\partial_\mu d_L+i(d_R)^\dagger \sigma^\mu{\partial}_\mu {d_R}\nonumber\\
&+i(e_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu{\partial}_\mu e_L
+i\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu{\partial}_\mu {e_R}+i(\nu_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu{\partial}_\mu \nu_L\nonumber\\
&+g_s \left((u_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu\frac{\lambda^a}{2}u_L+(u_R)^\dagger {\sigma}^{\mu}\frac{\lambda^a}{2}u_R
+(d_L)^\dagger \overline{\sigma}^{\mu}\frac{\lambda^a}{2}d_L+ (d_R)^\dagger \sigma^{\mu}\frac{\lambda^a}{2}d_R\right)G_{\mu}^a\nonumber\\
&+\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[(\nu_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu e_LW_\mu^++
(u_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu d_LW_\mu^++\text{h.c}\right]\nonumber\\
&+\sum_{F=Q,L,e_R,d_R,u_R}\frac{e}{2c_W s_W}\widetilde{F}\cdot\overline{\sigma}^\mu\left[ \tau_3-2s_W^2\widehat{Q}_L\right]F Z_\mu\nonumber\\
&+e\left[(e_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu \widehat{Q}_e e_L+\left(e_R \right)^{\dagger}\sigma^\mu \widehat{Q}_e e_R\right.\nonumber\\
  &\qquad\left.+(u_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu \widehat{Q}_u u_L+(u_R)^\dagger {\sigma}^\mu \widehat{Q}_u u_R
+(d_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu \widehat{Q}_d d_L+(d_R)^\dagger \sigma^\mu \widehat{Q}_d d_R\right] A_\mu\,.
\end{align}
\end{frame}








\subsection{Lagrangiano  de Yukawa }

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
En el gauge unitario
\begin{align}
  \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=& h_e \left( e_R \right)^{\dagger}\,\epsilon^{ab}L_a\widetilde{\Phi}_b +
      h_d \left( d_R \right)^{\dagger}\,\epsilon^{ab}Q_a\widetilde{\Phi}_b +
      h_u \left( u_R \right)^{\dagger}\,\epsilon_{ab}Q_a{\Phi}_{b}+\text{h.c}\nonumber\\
=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left[h_e((e_L)^{\dagger}e_R+(e_R)^{\dagger}e_L)+
h_d((d_L)^{\dagger}d_R+(d_R)^{\dagger}d_L)
+h_u((u_L)^{\dagger}u_R+(u_R)^{\dagger}u_L)\right]\times\nonumber\\
&\qquad\left[H(x)+v\right]\,.
\end{align}
Definiendo
\begin{align}
  m_f=\frac{h_fv}{\sqrt{2}}
\end{align}
tenemos
\begin{align}
\label{eq:lyuklr}
  \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=&m_e (e_L)^{\dagger}e_R+m_d (d_L)^{\dagger}d_R+m_u(u_L)^{\dagger}u_R
+\frac{m_e}{v}  (e_L)^{\dagger}e_RH+\frac{m_d}{v}  (d_L)^{\dagger}d_RH+\frac{m_u}{v} (u_L)^{\dagger}u_RH
+\text{h.c}\,.
\end{align}

Definiendo los fermiones de Dirac, términos de espinores de Weyl como
\begin{align}
  e=
  \begin{pmatrix}
    e_L\\
    e_R
  \end{pmatrix},\qquad d=
  \begin{pmatrix}
    d_L\\
    d_R
  \end{pmatrix},\qquad u=
  \begin{pmatrix}
    u_L\\
    u_R
  \end{pmatrix}
\end{align}
y usando la ec.~\eqref{eq:mwd}, podemos escribir
\begin{align*}
\mathcal{L}=&\frac{v}{\sqrt{2}}\left(h_e\overline{e}e+h_d\overline{d}d
+h_u\overline{u}u\right)
\left[\frac{H(x)}{v}+1\right].
\end{align*}

Definiendo
\begin{align}
  m_f=\frac{h_fv}{\sqrt{2}}
\end{align}
tenemos
\begin{align}
\label{eq:lyukfin}
 \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=&m_e\overline{e}e+m_d\overline{d}d
+m_u\overline{u}u+
  \frac{m_e}{v}\overline{e}e H+\frac{m_d}{v}\overline{d}d H
+\frac{m_u}{v}\overline{u}u H\,.
\end{align}
Vemos entonces que si la masa de los fermiónes no es fundamental sino
emergente, necesariamente se predice la existencia de interacciones
entre fermiones y el Higgs!

\end{frame}



\subsection{Lagrangiano completo  para al primera generación en el gauge unitario}

El contenido de partículos con las hipercargas calculadas se presenta en la Tabla~\ref{tab:fgwy}

\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{l|c|c}\hline
    Nombre & Símbolo & $\left( \operatorname{SU}(3)_c, \operatorname{SU}(2)_L, U(1)_Y \right)$\\\hline
    Doblete de Higgs & $  {\Phi}=\displaystyle{  \begin{pmatrix}
    \phi^+\\
    \phi^0
  \end{pmatrix}}$ & $\left( \mathbf{1},\mathbf{2},1/2 \right)$\\
    Doblete leptónico & $L=\displaystyle{\begin{pmatrix}
      \nu_L\\
      e_L      
    \end{pmatrix}}$ & $\left( \mathbf{1},\mathbf{2},-1/2 \right)$\\
    Doblete de quarks & $Q=\displaystyle{\begin{pmatrix}
      u_L\\
      d_L      
    \end{pmatrix}}$ & $\left( \mathbf{3},\mathbf{2},1/6 \right)$\\
  electrón derecho & $ e_R$&$\left(\mathbf{1},\mathbf{1},-1\right)$ \\
  up derecho & $ u_R$&$\left({\mathbf{3}},\mathbf{1},2/3\right)$ \\
   down derecho & $ d_R$&$\left({\mathbf{3}},\mathbf{1},-1/3\right)$ \\
  \end{tabular}
  \caption{Espinores de Weyl izquierdos para la primera generación del modelo estándar con sus correspondientes hipercargas}
  \label{tab:fgwy}
\end{table}


Recopilando los resultados para $\mathcal{L}_{WBH}$
\eqref{eq:lwbhfin}, $\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}$ \eqref{eq:lyuklr},
$\mathcal{L}_{\text{fermion}}$ \eqref{eq:azl}, y
$\mathcal{L}_{\text{gauge}}$ \eqref{eq:lgaguefin}, tenemos para
$f=\nu_L,e_L,e_R,u_L,u_R,d_L,d_R$; $q=u_{L,R},d_{L,R}$ con
\begin{align}
f'=&
\begin{cases}
  e &\text{for}\quad f=\nu\\
  d &\text{for}\quad f=u\\
\end{cases}\,,&
\widetilde{f}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}=&
  \begin{cases}
    f^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu} & \text{for}\quad f=\nu_L,e_L,d_L,u_L\\
    f^{\dagger}{\sigma}^{\mu} & \text{for}\quad f=e_R,d_R,u_R\\
  \end{cases},
\end{align}
\begin{align}
  t_f=
  \begin{cases}
   1 & \text{for}\quad   f=\nu_L,u_L\\
   -1 & \text{for}\quad f=e_L,d_L,\\
   0 & \text{for}\quad f_R
  \end{cases}
\end{align}
que
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\label{eq:lsmw}
   \mathcal{L}_{\text{1 gen}}=&
\sum_f  i \widetilde{f}\cdot\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu f 
+\sum_{g=e,u,d} m_g \left[ \left( g_L \right)^{\dagger} g_R+\text{h.c} \right]
\nonumber\\
&-\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}-\tfrac{1}{4}Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}(F_W^\dagger)^{\mu\nu} (F_W)_{\mu\nu}
- \tfrac{1}{4}\widetilde{G}^{\mu\nu}_a \widetilde{G}_{\mu\nu}^a\nonumber\\
&+\tfrac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H
-\frac{1}{2}m_H^2H^2\left(1+\frac{H}{v}+\frac{H^2}{4v^2}\right)\nonumber\\
&+\left(m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^++\frac{1}{2}m_Z^2Z^\mu Z_\mu\right)\left(1+2\frac{H}{v}+\frac{H^2}{v^2}\right)\nonumber\\
&+g_s\sum_q  \widetilde{q}\cdot\overline{\sigma}^\mu \left( \frac{\lambda_a}{2} \right) q\, G_\mu^a+e\sum_f  \widetilde{f}\cdot\overline{\sigma}^\mu Q_f f\, A_\mu \nonumber\\
&+\frac{e}{2\cos\theta_W \sin\theta_W} \sum_f\widetilde{f}\cdot\overline{\sigma}^{\mu}\left[t_f-2s_W^2Q_f\right]f Z_\mu \nonumber\\
&+\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[\sum_{f=\nu,u}(f_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu f'_LW_\mu^++\text{h.c}\right]
+\sum_{g=e,u,d} \frac{m_g}{v} \left[ \left( g_L \right)^{\dagger} g_R+\text{h.c} \right]H\nonumber\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
%  \phantom{\mathcal{L}_{\text{1 gen}}=}
&-ie\cot\theta_W\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ Z_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- Z_\nu+W_\mu^-W_\nu^+Z^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-ie\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ A_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- A_\nu+W_\mu^-W_\nu^+F^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}\left[\left(W_\mu^+{W^\mu}^-\right)^2-W_\mu^+{W^\mu}^+W_\nu^-{W^\nu}^-\right]\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(W_\mu^+{W^\mu}^-Z_\nu Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-Z^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(2W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu Z^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\left(W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu A^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&- \frac{1}{4}\left(g_s\widetilde{G}^{\mu\nu}_af_{a d e}G^d_\mu G^e_\nu
    +g_sf^{a b c}G_b^\mu G_c^\nu\widetilde{G}_{\mu\nu}^a
    +g_s^2f^{a b c}f_{a d e}G_b^\mu G_c^\nu G^d_\mu G^e_\nu\right)\,.
\end{align}
\end{frame}

\section{Notación de Dirac para la primera generación}
Para escribir este Lagrangiano en terminos de espinores de 4 componentes, tomemos algunos casos específicos:
\begin{itemize}
\item
  \begin{align}
\label{eq:zf4}
    &\left[ Q^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu\left( \tau_3-2s_W^2\widehat{Q}_Q\right)Q
      -2s_W^2{u_R}^{\dagger}\sigma^\mu\widehat{Q}_u u_R-2s_W^2{d_R}^{\dagger}\sigma^\mu\widehat{Q}_d d_R\right]Z_\mu\nonumber\\
=&\left[\begin{pmatrix}
      {u_L}^{\dagger} &{d_L}^{\dagger}
    \end{pmatrix}\overline{\sigma}^\mu
    \begin{pmatrix}
      1-2s_W^2\widehat{Q}_u & 0\\
      0 &-1-2s_W^2\widehat{Q}_d
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      u_L\\
      d_L\\
    \end{pmatrix}\right.\nonumber\\
    &\left.-2s_W^2{u_R}^{\dagger}\sigma^\mu\widehat{Q}_u u_R-2s_W^2{d_R}^{\dagger}\sigma^\mu\widehat{Q}_d d_R
  \right]Z_\mu\nonumber\\
    =&\left\{{u_L}^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu u_L-{d_L}^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu d_L
-2s_W^2\left[{u_L}^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}Q_u u_L+{u_R}^{\dagger}\sigma^\mu Q_uu_R
+{d_L}^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}Q_d d_L+{d_R}^{\dagger}\sigma^\mu Q_dd_R
\right]\right\}Z_\mu \nonumber\\
          =&\left[\frac{1}{2}\overline{u}\gamma^\mu(1-\gamma_5)u-\frac{1}{2}\overline{d}\gamma^\mu(1-\gamma_5)d
-2s_W^2\left(\overline{u}\gamma^\mu Q_u u
+\overline{d}\gamma^\mu Q_d d
\right)\right]Z_\mu\nonumber\\
        =&\left\{\overline{u}\gamma^\mu\left[\left(\frac{1}{2}-2s_W^2Q_u\right)-\frac{1}{2}\gamma_5\right]u+
\overline{d}\gamma^\mu\left[\left(-\frac{1}{2}-2s_W^2Q_d\right)+\frac{1}{2}\gamma_5\right]d
\right\}Z_\mu\nonumber\\
  =&\left[\overline{u}\gamma^\mu\left(v_u-a_u\gamma_5\right)u+\overline{d}\gamma^\mu\left(v_d-a_d\gamma_5\right)d\right]Z_\mu\,,
\end{align}

donde
\begin{align}
\label{eq:vfaf}
  v_f=&T_3^f-2 \sin^2\theta_WQ_f & a_f=&T_3^f\,.
\end{align}
Los valores explícitos para  $v_f$ y $a_f$ en el modelo estándar, están dados en la Tabla~\ref{tab:zcoup}. 
\end{itemize}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
%noinstiki
\begin{table}  %noinstiki
  \centering %noinstiki
  \begin{tabular}{l|c|c|c|c} %noinstiki
   &$u$&$d$&$\nu_e$&$e$\\\hline{}
$2v_f$&$1-\frac{8}{3}\sin^2\theta_W$&$-1+\frac{4}{3}\sin^2\theta_W$&$1$&$-1+4\sin^2\theta_W$\\
$2a_f$&$1$&$-1$&$1$&$-1$\\
  \end{tabular} %noinstiki
  \caption{Acoplamientos de corrientes neutras} %noinstiki
\label{tab:zcoup}
\end{table} %noinstiki
%noinstiki
\end{frame}

Usando las expresiones para pasar de fermiones $L,R$ a los fermiones de Dirac de cuatro compomentes, y las ecuaciones~\eqref{eq:wf4}, \eqref{eq:zf4} tenemos
\begin{align}
\label{eq:lfermionfin}
   \mathcal{L}_{\text{fermion}}
  =&i\overline{u}\gamma^\mu\partial_\mu u+i\overline{d}\gamma^\mu\partial_\mu d+i\overline{e}\gamma^\mu{\partial}_\mu e
+i\overline{\nu_L}\gamma^\mu{\partial}_\mu \nu_L\nonumber\\
&+g_s \left(\overline{u}\gamma_\mu\frac{\lambda^a}{2}u
+\overline{d}\gamma_\mu\frac{\lambda^a}{2}d+ \right)G^\mu_a\nonumber\\
&+\frac{g}{2\sqrt{2}}\left[\overline{\nu}\gamma^\mu(1-\gamma_5)eW_\mu^++
\overline{u}\gamma^\mu(1-\gamma_5)d W_\mu^++\text{h.c}\right]
+\sum_{f=u,d,\nu,e}\frac{e}{2c_W s_W}\overline{f}\gamma^\mu\left(v_f-a_f\gamma_5\right)f\nonumber\\
&+e\left(\overline{e}\gamma^\mu \widehat{Q}_e e+
\overline{u}\gamma^\mu {Q}_u u+
\overline{d}\gamma^\mu {Q}_d d\right) A_\mu\nonumber\\
    =&\sum_{f=u,d,\nu,e}i\overline{f}\gamma^\mu\partial_\mu f+\sum_{q=u,d}g_s\overline{q}\gamma_\mu\frac{\lambda^a}{2}qG^\mu_a\nonumber\\
&+\frac{g}{2\sqrt{2}}\left[\overline{\nu}\gamma^\mu(1-\gamma_5)eW_\mu^++
\overline{u}\gamma^\mu(1-\gamma_5)d W_\mu^++\text{h.c}\right]\nonumber\\
&+\sum_{f=u,d,\nu,e}\frac{e}{2c_W s_W}\overline{f}\gamma^\mu\left(v_f-a_f\gamma_5\right)f\nonumber\\
&+e\sum_{f=u,d,\nu,e}\overline{f}\gamma^\mu \widehat{Q}_f f A_\mu\,,
\end{align}
donde $Q_f$ están dadas en la Tabla~\ref{tab:ef} y $v_f$, $a_f$ en la Tabla \ref{tab:zcoup}.




\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Recopilando los resultados para $\mathcal{L}_{WBH}$ \eqref{eq:lwbhfin}, $\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}$ \eqref{eq:lyukfin}, $\mathcal{L}_{\text{fermion}}$ \eqref{eq:lfermionfin}, y $\mathcal{L}_{\text{gauge}}$ \eqref{eq:lgaguefin}, tenemos  para $f=\nu_e,e,u,d$; $q=u,d$ [con $f'=e$ ($d$) para $f=\nu_e$ ($u$) ], podemos escribir en notación de Dirac:
%%arrglar
\begin{align*}
  \mathcal{L}_{\text{1 gen}}=&\sum_f \overline{f}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m_f\right)f\nonumber\\
&-\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}-\tfrac{1}{4}Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}(F_W^\dagger)^{\mu\nu} (F_W)_{\mu\nu}
- \tfrac{1}{4}\widetilde{G}^{\mu\nu}_a \widetilde{G}_{\mu\nu}^a\nonumber\\
&+\tfrac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H
-\frac{1}{2}m_H^2H^2\left(1+\frac{H}{v}+\frac{H^2}{4v^2}\right)\nonumber\\
&+\left(m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^++\frac{1}{2}m_Z^2Z^\mu Z_\mu\right)\left(1+2\frac{H}{v}+\frac{H^2}{v^2}\right)\nonumber\\
&+g_s\sum_q\bar{q}\gamma^\mu\left(\frac{\lambda_a}{2}\right)q\,G_\mu^a+e\sum_f \bar{f}\gamma^\mu Q_f f A_\mu\nonumber\\
&+\frac{e}{2\cos\theta_W\sin\theta_W}\sum_{f}\bar{f}\gamma^\mu(v_f-a_f\gamma_5)f Z_\mu\nonumber\\
&+\frac{g_2}{2\sqrt{2}}\left[\sum_{f=\nu_e,u}\bar{f}\gamma^\mu(1-\gamma_5)f' W_\mu^++\text{h.c}\right]
+\sum_f \frac{m_f}{v} \bar{f}f H\nonumber\\
% &\phantom{- \frac{1}{4}\left(g_s\widetilde{G}^{\mu\nu}_af_{a d e}G^d_\mu G^e_\nu
%     +g_sf^{a b c}G_b^\mu G_c^\nu\widetilde{G}_{\mu\nu}^a
%     +g_s^2f^{a b c}f_{a d e}G_b^\mu G_c^\nu G^d_\mu G^e_\nu\right)\,.}\nonumber
% \end{align}
% \end{frame}
% \begin{frame}[fragile,allowframebreaks]{}
% \begin{align}
%  \phantom{\mathcal{L}_{\text{1 gen}}=}
&-ie\cot\theta_W\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ Z_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- Z_\nu+W_\mu^-W_\nu^+Z^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-ie\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ A_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- A_\nu+W_\mu^-W_\nu^+F^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}\left[\left(W_\mu^+{W^\mu}^-\right)^2-W_\mu^+{W^\mu}^+W_\nu^-{W^\nu}^-\right]\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(W_\mu^+{W^\mu}^-Z_\nu Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-Z^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(2W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu Z^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\left(W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu A^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&- \frac{1}{4}\left(g_s\widetilde{G}^{\mu\nu}_af_{a d e}G^d_\mu G^e_\nu
    +g_sf^{a b c}G_b^\mu G_c^\nu\widetilde{G}_{\mu\nu}^a
    +g_s^2f^{a b c}f_{a d e}G_b^\mu G_c^\nu G^d_\mu G^e_\nu\right)\,.
\end{align*}     
\end{frame}
\noindent
donde  $v_f$, $a_f$ estan definidos en la ec.~\eqref{eq:vfaf} y evaluados en la Tabla \ref{tab:zcoup}.
\section{Dinámica de sabor}
\label{sec:dinamica-de-sabor}

\subsection{Dos generaciones leptónicas}
\begin{align}
L_i=&
\begin{pmatrix}
  \nu^i_L\\
  e^i_L
\end{pmatrix}:&
  L_1=&
  \begin{pmatrix}
    \nu^e_L\\
    e_L
  \end{pmatrix},&  L_2=&
  \begin{pmatrix}
    \nu^\mu_L\\
    \mu_L
  \end{pmatrix}&  e_R^i:\;e_R,\;\mu_R\,.
\end{align}
Las interacciones de Yukawa necesitan explicar 2 autovalores correspondientes a las masas del electrón y el muón y las interacciones de corrientes cargadas no involucran observables adicionales pues hay implícita una hipótesis de universalidad cuando se define el neutrino electrónico como el que se acopla al electrón y el neutrino muónico como el que se acopla al muón. Por lo tanto el Lagrangiano más general se obtien simplemente  adicionando una segunda familia que no tiene nigún tipo de mezclas con la primera en nigún sector de Lagrangino. Lo mismo aplica al caso de tres generaciones que se discutirá en detalle más adelante. Por lo tanto postpondremos la discusión al caso de tres generaciones.

\subsection{Dos generaciones de quarks}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
  Q_i^\alpha=&
\begin{pmatrix}
  u^{i\alpha}_L\\
  d^{i\alpha}_L
\end{pmatrix}:&
  Q_1^\alpha=&
  \begin{pmatrix}
    u^\alpha_L\\
    d^\alpha_L
  \end{pmatrix},&  Q_2^\alpha=&
  \begin{pmatrix}
    c^\alpha_L\\
    s^\alpha_L
  \end{pmatrix},& u_R^i:\;u_R,\;c_R,\nonumber\\
&&&&&&d_R^i:d_R,\;s_R\,.
\end{align}
\end{frame}
Cuando el modelo electrodébil para dos generaciones de quarks fue formulada por Sheldon Glashow, John Iliopoulos and Luciano Maiani in 1970 (y conocido como el mecanismo GIM~\cite{} ) se predijo la existencia del quark $c$, el cual se descubrió finalmente en 1974. En este caso el potencial de Yukawa deber dar cuenta de las cuatro masas para los quarks y en principio dejar abierta la
posibilidad que cualquier quark de isospín débil hacía arriba pueda convertirse en cualquier quark de isospín hacia abajo a través de las corrientes cargadas.

Para ilustrar la situación consideremos mezclas sólo en el sector down (El caso más general se tratara más adelante en el contexto de tres generaciones)
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
  \mathcal{L}_{\text{Yuk}}^{ud}=& \left[ m_u\left( u_R \right)^{\dagger} u_L+m_c \left( c_R \right)^{\dagger}c_L
+  M^{d}_{11}\left( d_R \right)^{\dagger} d_L'+M^d_{12}\left( d_R \right)^{\dagger}s_L' +
  M^d_{21}\left( s_R \right)^{\dagger}d_L'+M^d_{22}\left( s_R \right)^{\dagger}s_L'      \right]\times \nonumber\\
& \left( \frac{H}{v} +1\right) \nonumber\\
=&\left\{ m_u\left( u_R \right)^{\dagger} u_L+m_c \left( c_R \right)^{\dagger}c_L
+\begin{bmatrix}
     \left( d_R \right)^{\dagger} &  \left( s_R \right)^{\dagger}
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
     M^{d}_{11} & M^{d}_{12} \\
     M^{d}_{21} & M^{d}_{22} \\                                      
  \end{bmatrix}
  \begin{pmatrix}
    d_L'\\
    s_L'\\
  \end{pmatrix}
     \right\}
   \left( \frac{H}{v} +1\right)\,.
\end{align}
Defimos entonces la matriz de masa del sector down para dos familias como
\begin{align}
  M=
  \begin{bmatrix}
     M^{d}_{11} & M^{d}_{12} \\
     M^{d}_{21} & M^{d}_{22} \\                                      
  \end{bmatrix}.
\end{align}
Una matriz general es más simple de diagonalizar que una matriz simétrica, pues es suficiente usar una única multiplicación matricial con una matriz de rotación\footnote{donde $\theta_c$ es el ángulo de Cabibbo~\cite{}}
\begin{align}
  V_c= \begin{bmatrix}
    \cos\theta_c & \sin\theta_c\\
     -\sin\theta_c & \cos\theta_c  \\
  \end{bmatrix},
\end{align}
bien sea a izquierda o a derecha, es decir, la otra matriz que en el caso simétrico corresponde a la transpuesta de la matriz de rotación, en el caso general se puede escoger como la identidad. Si escogemos multiplicar a izquierda, no se generarían mezclas en ningún otro sector de Lagrangiano. Por lo tanto escogeremos el caso más interesante de multiplicación a derecha, es decir
\begin{align}
  M\cdot V=
   \begin{bmatrix}
     M^{d}_{11} & M^{d}_{12} \\
     M^{d}_{21} & M^{d}_{22} \\                                      
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \cos\theta_c & \sin\theta_c\\
     -\sin\theta_c & \cos\theta_c  \\
  \end{bmatrix}=
  \begin{bmatrix}
    m_d & 0\\
    0  & m_s\\
  \end{bmatrix}.
\end{align}
El problema se puede invertir, de manera que podemos determinar las entradas de la matriz en términos de los autovalores $m_{d}$, $m_s$ y el ángulo de mezcla de Cabibbo $\theta_c$
\begin{align}
  M=  \begin{bmatrix}
     M^{d}_{11} & M^{d}_{12} \\
     M^{d}_{21} & M^{d}_{22} \\                                      
  \end{bmatrix}=
  \begin{bmatrix}
    {m_d\cos\theta_c}&  -{m_d\sin\theta_c} \\
   {m_s\sin\theta_c } & {m_s\cos\theta_c } \\
  \end{bmatrix}.
\end{align}



Haciendo explícitamente la rotación de la base de interacción a la base de autoestados de masa
\begin{align}
  \begin{bmatrix}
    d_L'\\
    s_L'\\
  \end{bmatrix}= V_c
  \begin{bmatrix}
    d_L\\
    s_L\\
  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    \cos\theta_c & \sin\theta_c\\
    - \sin\theta_c & \cos\theta_c  \\
  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}
    d_L\\
    s_L\\
  \end{bmatrix},
\end{align}
obtenemos
\begin{align}
  \mathcal{L}_{\text{Yuk}}^{ud}
=&\left\{ m_u\left( u_R \right)^{\dagger} u_L+m_c \left( c_R \right)^{\dagger}c_L
+\begin{bmatrix}
     \left( d_R \right)^{\dagger} &  \left( s_R \right)^{\dagger}
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
     M^{d}_{11} & M^{d}_{12} \\
     M^{d}_{21} & M^{d}_{22} \\                                      
  \end{bmatrix} V_c V_c^T
  \begin{pmatrix}
    d_L'\\
    s_L'\\
  \end{pmatrix}
     \right\}
   \left( \frac{H}{v} +1\right) \nonumber\\
=&\left\{ m_u\left( u_R \right)^{\dagger} u_L+m_c \left( c_R \right)^{\dagger}c_L
+\begin{bmatrix}
     \left( d_R \right)^{\dagger} &  \left( s_R \right)^{\dagger}
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
     m_d & 0 \\
     0 & m_s \\                                      
  \end{bmatrix} 
  \begin{pmatrix}
    d_L\\
    s_L\\
  \end{pmatrix}
     \right\}
   \left( \frac{H}{v} +1\right) \nonumber\\
=&\left[ m_u\left( u_R \right)^{\dagger} u_L+m_c \left( c_R \right)^{\dagger}c_L
+m_d\left( d_R \right)^{\dagger}d_L+ m_s \left( s_R \right)^{\dagger}s_L 
     \right]
   \left( \frac{H}{v} +1\right).
\end{align}

El único sector afectado por la rotación (ver la demostración general más adelante en la Sección~\ref{sec:tres-generaciones}) es el de las corrientes cargadas
\begin{align}
  \mathcal{L}_{WQ}=&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[(u_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu d_L'W_\mu^++
  (c_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu s_L'W_\mu^++\text{h.c}\right] \nonumber\\
=&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left\{
  \begin{bmatrix}
 (u_L)^\dagger &  (c_L)^\dagger
  \end{bmatrix}
 \overline{\sigma}^\mu
  \begin{bmatrix}
    d_L' \\
    s_L'\\
  \end{bmatrix}
W_\mu^++\text{h.c}\right\} \nonumber\\
=&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left\{
  \begin{bmatrix}
 (u_L)^\dagger &  (c_L)^\dagger
  \end{bmatrix}
 \overline{\sigma}^\mu
  V_c\begin{bmatrix}
    d_L \\
    s_L\\
  \end{bmatrix}
W_\mu^++\text{h.c}\right\}\nonumber\\
=&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left\{
  \begin{bmatrix}
 (u_L)^\dagger &  (c_L)^\dagger
  \end{bmatrix}
 \overline{\sigma}^\mu
  \begin{bmatrix}
    \cos\theta_c d_L+\sin\theta_c s_L\\
    -\sin\theta_c d_L+ \cos\theta_c s_L\\
  \end{bmatrix}
W_\mu^++\text{h.c}\right\} \nonumber\\
=&\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left\{
 \left[    \cos\theta_c(u_L)^\dagger  \overline{\sigma}^\mu  d_L
   + \sin\theta_c (u_L)^\dagger  \overline{\sigma}^\mu s_L
   - \sin\theta_c (c_L)^\dagger  \overline{\sigma}^\mu d_L
   + \cos\theta_c (c_L)^\dagger \overline{\sigma}^\mu    s_L
\right]W_\mu^++\text{h.c}\right\}
\end{align}
De hecho, la constante de Fermi asociada al decaimiento débil del quark down, $G_{\beta}$, también es conocida y resulta ser diferente a la constante de Fermi asociada al decaimiento del muón, $G_F$. Sin embargo, la posibilidad de la mezcla nos permite mantener una única constante de Fermi tal que
\begin{align}
  G_\beta=G_F V_{c11}=G_F\cos\theta_c\,.
\end{align}
Esta expresión será discutida más en detalle en la sección de fenomenología~\ref{sec:fenom-electr}.

La explicación que hemos presentado de porque la constante $G_\beta$ asociada al decaimiento del protón es menor que la correspondiente constante $G_F$ asociada al decaimiento del muon recibe el nombre de mecanismo GIM~\cite{}. Este mecanismo predice las transiciones integeneracionales $s \to u \,W_\mu^-$ y $c \to d \,W_\mu^-$ las cuales se han medido con las probabilidades esperadas.

 Es de anotar que usar una segunda matriz de rotación diferente a la identidad no afecta el resultado, como demostraremos a continuación en la Sección~\ref{sec:tres-generaciones} para el caso de tres generaciones.
\end{frame}
\subsection{Tres generaciones}
\label{sec:tres-generaciones}


\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El Modelo Estándar esta compuesto de las siguientes tres familias de fermiones $i=1,2,3$. A cada familia se le asigna una carga de \emph{sabor} diferente
\begin{align}
L_i=&
\begin{pmatrix}
  \nu^i_L\\
  e^i_L
\end{pmatrix}:&
  L_1=&
  \begin{pmatrix}
    \nu^e_L\\
    e_L
  \end{pmatrix}&  L_2=&
  \begin{pmatrix}
    \nu^\mu_L\\
    \mu_L
  \end{pmatrix}&  L_3=&
  \begin{pmatrix}
    \nu^\tau_L\\
    \tau_L
  \end{pmatrix}& e_R^i:\;e_R,\;\mu_R,\;\tau_R\nonumber\\
Q_i^\alpha=&
\begin{pmatrix}
  u^{i\alpha}_L\\
  d^{i\alpha}_L
\end{pmatrix}:&
  Q_1^\alpha=&
  \begin{pmatrix}
    u^\alpha_L\\
    d^\alpha_L
  \end{pmatrix}&  Q_2^\alpha=&
  \begin{pmatrix}
    c^\alpha_L\\
    s^\alpha_L
  \end{pmatrix}&  Q_3^\alpha=&
  \begin{pmatrix}
    t^\alpha_L\\
    b^\alpha_L
  \end{pmatrix}& u_R^i:\;u_R,\;c_R,\;t_R\nonumber\\
&&&&&&&&d_R^i:d_R,\;s_R,\;b_R\,.
\end{align}
Con
\begin{align}
  Y_{L_i}&=-\frac{1}{2}&Y_{Q_i}&=\frac{1}{6}& Y_{e_R^i}=&-1&
Y_{u_R^i}=&\frac{2}{3}&Y_{d_R^i}=&-\frac{1}{3}\,.
\end{align}
De los procesos entre familias, es decir de cambio de sabor, sabemos que

%noinstiki 
\begin{itemize} %noinstiki 
\item No se han observado procesos de corrientes neutras que cambian sabor.
\item Los bosones gauge cargados $W_\mu^\pm$ decaen siempre a leptones de la misma generación y con la misma intensidad.
\end{itemize} %noinstiki 
%noinstiki 


Proponemos entonces el Lagrangiano
\begin{align}
\label{eq:265qft} 
    \mathcal{L}=&i \widetilde{Q}^{\prime}_i\overline{\sigma}^\mu\cdot \mathcal{D}_\mu Q^{\prime i}+i\widetilde{ L}^{\prime}_i\overline{\sigma}^\mu\cdot \mathcal{D}_\mu L^{\prime i}+
i\left( e_R^{\prime} \right)^{\dagger}_i\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {e_R}^{\prime i}+i(d_R^{\prime})^{\dagger}_i\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {d_R}^{\prime i}+i(u_R^{\prime})^{\dagger}_i\sigma^\mu\mathcal{D}_\mu {u_R}^{\prime i}
\nonumber\\
     &- \sum_{ij}\left( h_{ij}^E (e_R')^{\dagger}_i{L}^{\prime}_j\cdot \widetilde{\Phi}  
+h_{ij}^D (d_R')^{\dagger}_i{Q}^{\prime}_j\cdot \widetilde{\Phi}  
+h_{ij}^U(u_R')^{\dagger}_i Q^{\prime}_j\cdot \Phi+\text{h.c} \right)\nonumber\\
     &-\tfrac{1}{4}W^{\mu\nu}_i W_{\mu\nu}^i-\tfrac{1}{4}B^{\mu\nu} B_{\mu\nu}\nonumber\\
     &+\widetilde{\left( \mathcal{D}_\mu{\Phi} \right)}\cdot\mathcal{D}^\mu\Phi-\mu^2\widetilde{\Phi}\cdot\Phi-\lambda \left( \widetilde{\Phi}\cdot\Phi \right)^2\,.
\end{align}
Para aclarar la notación, obviando de momento la definición definitiva de $h_{ij}$ y las primas sobre los campos, consideremos el Lagrangiano de Yukawa para el sector down
\begin{align}
  \label{eq:264qft}
  \mathcal{L}\supset&h_{ij}^D (d_R')^{\dagger}_i{Q}^{\prime}_j\cdot \widetilde{\Phi}+\text{h.c}\nonumber\\
\supset&-h^D_{ij}{d_R}^{\dagger}_i\epsilon_{ab}\widetilde{\Phi}^aQ_j^b+\text{h.c}\nonumber\\
\supset&-h^D_{ij}\epsilon_{ab}{{d_R}^{\dagger}_i}^\alpha\widetilde{\Phi}^aQ_{j\alpha}^b+\text{h.c}\nonumber\\
\supset&-h^D_{ij}\epsilon_{ab}{(d_{R\gamma}^\dagger)}_i^\alpha\widetilde{\Phi}^aQ_{j\alpha}^{b\gamma}+\text{h.c}\,,
\end{align}
donde $i,a,\gamma,\alpha$ son índices en los espacios de familia, $SU(2)_L$, $SU(3)_c$ y de Weyl, respectivamente. Por ejemplo el primer termino de la sumatoria 
\begin{align}
\mathcal{L}\supset&h^D_{11}{(d_{R1}^\dagger)}_1^{\alpha}\gamma_0^{\eta\rho}\widetilde{\Phi}^1Q_{1\alpha}^{21}+\ldots\nonumber\\
\supset&h^D_{11}\overline{d_R}^r\phi^{0*}d_{L}^r+\ldots\,
\end{align}
%DEBUG;definir isopin debil

corresponde a la interacción de Yukawa del quark down rojo ($r$) con un campo escalar complejo neutro en carga eléctrica pero de isospín débil $1/2$. En forma compacta la primera expresión en la ec.~(\ref{eq:264qft}) puede escribirse como (en el gauge unitario)
\begin{align}
  \mathcal{L}\supset&(\mathbf{d}_R')^{\dagger} \mathbf{h}^D\mathbf{Q}'\cdot \widetilde{\Phi} +\text{h.c}\nonumber\\
  % &\supset\overline{\mathbf{d}_R} \mathbf{h}^D
  % \begin{pmatrix}
  %   0 &
  %   \frac{H(x)+v}{\sqrt{2}}
  % \end{pmatrix}
  % \begin{pmatrix}
  %   \mathbf{u}_L\\
  %   \mathbf{d}_L\\
  % \end{pmatrix}
  % +\text{h.c}\nonumber\\
  &\supset(\mathbf{d}_R')^{\dagger} \mathbf{h}^D
  \left(\frac{H(x)+v}{\sqrt{2}}\right)\mathbf{d}'_L
  +\text{h.c}\nonumber\\
  &\supset(\mathbf{d}_R')^{\dagger}  \frac{\mathbf{h}^D}{\sqrt{2}}H(x)\mathbf{d}'_L
  +(\mathbf{d}_R')^{\dagger}  \frac{\mathbf{h}^Dv}{\sqrt{2}}\mathbf{d}'_L
      +\text{h.c}\nonumber\\
  &\supset(\mathbf{d}_R')^{\dagger}  \frac{\mathbf{h}^D}{\sqrt{2}}H(x)\mathbf{d}'_L
  +(\mathbf{d}_R')^{\dagger}  \mathbf{M}^D\mathbf{d}'_L
      +\text{h.c}\,.
\end{align}
La matrix $3\times 3$ $\mathbf{M}^D$ es en general una matriz compleja no diagonal, la cual se debe diagonalizar con una transformación biunitaria (de similaridad).
Retornado a la ec.~(\ref{eq:265qft}), tenemos que para definir apropiadamente la masa de los quarks, rotamos de los autoestados de interacción a los autoestados de masa con la matrices unitarias
\begin{align}
  \label{eq:229qft}
  {d_{R,L}}'_j&=(V^D_{R,L})_{jk}\, {d_{R,L}}_k&   (d_{R,L}')^{\dagger}_j&=(d_{R,L}')^{\dagger}_k({V^D_{R,L}}^\dagger)_{kj}\,&
\end{align}
Tal que
\begin{align}
  ({V^D_{R,L}}^\dagger)_{ij}(V^D_{R,L})_{jk}&=\delta_{ik}& ({V^D_R}^\dagger)_{ki}M^D_{ij}(V^D_L)_{jl}=m^D_k\delta_{kl}
\end{align}

\begin{align}
 {\mathbf{V}_R^D}^\dagger \left(\mathbf{M}^D{\mathbf{M}^D}^\dagger\right)\mathbf{V}_R^D=&
 \left({\mathbf{V}_R^D}^\dagger \mathbf{M}^D\mathbf{V}_L^D\right)\left({\mathbf{V}_L^D}^\dagger{\mathbf{M}^D}^\dagger\mathbf{V}_R^D\right)\nonumber\\
 =& \mathbf{M}^D_{\text{diag}}{\mathbf{M}^D_{\text{diag}}}^\dagger\,,
\end{align}
donde $\mathbf{M}^D_{\text{diag}}=\operatorname{diag}(m_1^D,m_2^D,m_3^D)$,
\begin{align}
  \mathbf{M}^D_{\text{diag}}={\mathbf{V}_R^D}^\dagger \mathbf{M}^D\mathbf{V}_L^D\,.
\end{align}

 Similarmente
\begin{align}
  {\mathbf{V}_L^D}^\dagger \left({\mathbf{M}^D}^\dagger\mathbf{M}^D\right)\mathbf{V}_L^D=& 
  {\mathbf{M}^D_{\text{diag}}}^\dagger{\mathbf{M}^D_{\text{diag}}}\,,
\end{align}
%\left(\right)
%cambiar orden
Con definiciones similares para los campos $u_i$ y $e_i$.
\begin{align}
\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}\supset&(d_R')^{\dagger}_iM^D_{ij} {d_L'}_j\nonumber\\
=&(d_R)^{\dagger}_k({V^D_R}^\dagger)_{ki}M^D_{ij}(V^D_L)_{jl} {d_L}_l\nonumber\\
=&(d_R)^{\dagger}_km^D_k\delta_{kl} {d_L}_l\nonumber\\
=&m^D_k(d_R)^{\dagger}_k{d_L}_k
\end{align}
Para las diferentes combinaciones de términos de corrientes
\begin{align}
  (u_L')^{\dagger}_i \overline{\sigma}^\mu{d_L}'_i=&(u_L)^{\dagger}_k\overline{\sigma}^\mu({V^U_L}^\dagger)_{ki}(V^D_L)_{il} {d_L}_l\nonumber\\
  =&V_{kl}(u_L)^{\dagger}_k\overline{\sigma}^\mu{d_L}_l\nonumber\\
  (\nu_L')^{\dagger}_i\overline{\sigma}^\mu {e_L}'_i=&(\nu_L')^{\dagger}_i\overline{\sigma}^\mu(V^E_L)_{ij} {e_L}_j\nonumber\\
  =&(\nu_L')^{\dagger}_i(V^E_L)_{ij}\overline{\sigma}^\mu {e_L}_j\nonumber\\
  =&(\nu_L)^{\dagger}_j\overline{\sigma}^\mu{e_L}_j
\end{align}
Donde hemos definido la matriz de Cabibbo--Kobayashi--Maskawa (CKM) como
\begin{align}
  \label{eq:230qft}
  V_{\text{CKM}}=&{V^U_L}^\dagger V^D_L\nonumber\\
  V^\dagger_{\text{CKM}} V_{\text{CKM}}=&{V^D_L}^\dagger{V^U_L}{V^U_L}^\dagger V^D_L=\mathbf{1}\Rightarrow \sum_jV^\dagger_{ij}V_{jk}=\delta_{ik}\Rightarrow\sum_jV^*_{ji}V_{jk}=\delta_{ik}\Rightarrow\sum_j|V_{ji}|^2=\sum_j|V_{ij}|^2=1
\end{align}
y los autoestados débiles de los neutrinos como
\begin{align}
  {\nu_L}'_i=({V^E_L}^\dagger)_{ij}{\nu_L}_j
\end{align}
Con esta definición, las corrientes débiles cargadas para los leptones siguen siendo universales. Similarmente
\begin{align}
   (u_L')^{\dagger}_i \overline{\sigma}^\mu{u_L}'_i=&{u_L}^{\dagger}_k\overline{\sigma}^\mu({V^U_L}^\dagger)_{ki}(V^U_L)_{il} {u_L}_l\nonumber\\
  =&\delta_{kl}(u_L)^{\dagger}_k \overline{\sigma}^\mu{u_L}_l\nonumber\\
  =&(u_L)^{\dagger}_k\overline{\sigma}^\mu {u_L}_k
 \end{align}
De modo que todas las corrientes neutras permanecen universales después de la redefinición de los campos fermiónicos. A éste resultado, basado en la unitariedad de las transformaciones biunitarias se le llama \emph{Mecanismo GIM}. En muchas extensiones del Modelo Estándar las matrices que transforman los fermiones a sus autoestados de masa no son unitarias y dan lugar a corrientes débiles neutras que cambian sabor (FCNC de sus siglas en inglés). 


Teniendo en cuenta estos resultados podemos escribir finalmente el Lagrangiano completo del Modelo Estándar en la Gauge Unitario, para los fermiones de Dirac:
\begin{align}
  f=&\nu_e,\nu_\mu,\nu_\tau,e,\mu,\tau,u,c,t,d,s,b;&q=&u,c,t,d,s,b;&l=&e,\mu,\tau
\end{align}
\begin{align}
   \mathcal{L}_{\text{SM}}=&\sum_f i\bar{f}\left(\gamma^\mu\partial_\mu-m_f\right)f\nonumber\\
&-\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}-\tfrac{1}{4}Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}(F_W^\dagger)^{\mu\nu} (F_W)_{\mu\nu}
- \tfrac{1}{4}\widetilde{G}^{\mu\nu}_a \widetilde{G}_{\mu\nu}^a\nonumber\\
&+\tfrac{1}{2}\partial^\mu H\partial_\mu H
-\frac{1}{2}m_H^2H^2\left(1+\frac{H}{v}+\frac{H^2}{4v^2}\right)\nonumber\\
&+\left(m_W^2{W^\mu}^-W_\mu^++\frac{1}{2}m_Z^2Z^\mu Z_\mu\right)\left(1+2\frac{H}{v}+\frac{H^2}{v^2}\right)\nonumber\\
&+g_s\sum_q\bar{q}\gamma^\mu\left(\frac{\lambda_a}{2}\right)q\,G_\mu^a+e\sum_f \bar{f}\gamma^\mu Q_f f A_\mu\nonumber\\
&+\frac{e}{2\cos\theta_W\sin\theta_W}\sum_{f}\bar{f}\gamma^\mu(v_f-a_f\gamma_5)f Z_\mu\nonumber\\
&+\frac{g_2}{2\sqrt{2}}\left[\sum_{l=e}^{\tau}\bar{\nu_l}\gamma^\mu(1-\gamma_5)l W_\mu^++\sum_{ij}{\color{red}V^{ij}_{\text{CKM}}}\,\bar{u}_i\gamma^\mu(1-\gamma_5)d_j W_\mu^++\text{h.c}\right]
+\sum_f \frac{m_f}{v} \bar{f}f H\nonumber\\
% \end{align}
% \end{frame}
% \begin{frame}[fragile,allowframebreaks]{}
% \begin{align}
% \phantom{\mathcal{L}_{\text{SM}}=}&-ie\cot\theta_W\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ Z_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- Z_\nu+W_\mu^-W_\nu^+Z^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-ie\left[(F_W^\dagger)^{\mu\nu}W_\mu^+ A_\nu-(F_W)^{\mu\nu}W_\mu^- A_\nu+W_\mu^-W_\nu^+F^{\mu\nu}\right]\nonumber\\
&-\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}\left[\left(W_\mu^+{W^\mu}^-\right)^2-W_\mu^+{W^\mu}^+W_\nu^-{W^\nu}^-\right]
-e^2\cot^2\theta_W\left(W_\mu^+{W^\mu}^-Z_\nu Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-Z^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\cot^2\theta_W\left(2W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu Z^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-Z^\nu-W_\mu^+Z^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&-e^2\left(W_\mu^+{W^\mu}^-A_\nu A^\nu-W_\mu^+A^\mu W_\nu^-A^\nu\right)\nonumber\\
&- \frac{1}{4}\left(g_s\widetilde{G}^{\mu\nu}_af_{a d e}G^d_\mu G^e_\nu
    +g_sf^{a b c}G_b^\mu G_c^\nu\widetilde{G}_{\mu\nu}^a
    +g_s^2f^{a b c}f_{a d e}G_b^\mu G_c^\nu G^d_\mu G^e_\nu\right)\,.
\end{align}


donde $m_{\nu_l}=0$.

\end{frame}

\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El caso de tres generaciones predice entonces tres ángulos de mezcla $\theta_{12}$, $\theta_{23}$, $\theta_{13}$, y una fase compleja $\delta$, asociadas a la matrix de rotación unitaria $V_{\text{CKM}}$
\begin{align}
\label{eq:vckm}
  V_{\text{CKM}} &=\left(\begin{array}{ccc}{V_{u d}} & {V_{u s}} & {V_{u b}} \\ {V_{c d}} & {V_{c s}} & {V_{c b}} \\ {V_{t d}} & {V_{t s}} & {V_{t b}}\end{array}\right) \nonumber\\
                   &=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {c_{23}} & {s_{23}} \\ {0} & {-s_{23}} & {c_{23}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{c_{13}} & {0} & {s_{13} e^{-i \delta}} \\ {0} & {1} & {0} \\ {-s_{13} e^{i \delta}} & {0} & {c_{13}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{c_{12}} & {s_{12}} & {0} \\ {-s_{12}} & {c_{12}} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cccccc}{c_{12} c_{13}} & {} & {s_{12} c_{13}} & {s_{13} e^{-i \delta}} \\ {-s_{12} c_{23}-c_{12} s_{23} s_{13} e^{i \delta}} & {c_{12} c_{23}-s_{12} s_{23} s_{13} e^{i \delta}} & {s_{23} c_{13}} \\ {s_{12} s_{23}-c_{12} c_{23} s_{13} e^{i \delta}} & {-c_{12} s_{23}-s_{12} c_{23} s_{13} e^{i \delta}} & {c_{23} c_{13}}\end{array}\right) 
\end{align}
donde $s_{i j}=\sin \theta_{i j}$, $c_{i j}=\cos \theta_{i j}$.

La fase compleja $\delta$ se parametriza en términos de un número complejo $\rho+i\eta$. Más especificamente, definido de una forma que es independiente de la convención de fase
\begin{align}
  \bar{\rho}+i\bar{\eta}\equiv =-\frac{V_{u d} V_{u b}^{*}}{V_{c d} V_{c b}^{*}},
\end{align}
la combinación de los datos experimentales al respecto da lugar al valor real e imaginario diferentes de cero mostrados en la figura~\ref{fig:vckmdelta}
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{rhoeta_large}
  \caption{Fase completa de $V_{\text{CKM}}$. El valor para el modelo estándar corresponde a la región amarilla con contorno rojo en el vértice con ángulo $\alpha$. Obtenida de \url{http://ckmfitter.in2p3.fr} }
  \label{fig:vckmdelta}
\end{figure}
\end{frame}
\section{Fenomenología Electrodébil}
\label{sec:fenom-electr}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El Lagrangiano del Modelo contiene los parámetros $g_s,g,\sin\theta_W,v,m_H$. Alternativamente uno puede escoger como parámetros, en lugar de $g,\sin\theta_W,v$ \cite{a}
\begin{align}
  \label{eq:233qft}
  G_F&=1.166\,371(6)\times 10^{-5}\,\text{GeV}^{-2}\nonumber\\
  \alpha^{-1}&=137.035\,999\,679(94)\nonumber\\
  m_Z&=91.1876(20)\,\text{GeV}\nonumber\\
  \alpha_s(m_Z)&=0.1176(20)\,.
\end{align}
donde $\alpha_i=g_i^2/(4\pi)$ con $\alpha_3=\alpha_s$ ($g_3=g_s$) y $\alpha=e^2/(4\pi)$. Esto tiene la ventaja de usar las cuatro cantidades experimentales mejor medidas.


Para relacionar la constante de Fermi, $G_F$, con los parámetros del Lagrangiano del Modelo Estándar (ME), consideremos el decaimiento del muón como un proceso en el cual el muón decae directamente a tres fermiones a través de la  interacción de contacto ilustatrada en la figura~\ref{fig:mucontact}. Entonces dicho proceso estaría explicado por un Lagrangiano no fundamental
\begin{align}
  \mathcal{L}_{\mu}=\frac{G_F}{\sqrt{2}}\left[\bar{\nu}_\mu\gamma^\mu(1-\gamma_5)\mu\right]\left[\bar{e}\gamma_\mu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\,,
\end{align}
donde $G_F$ tiene las dimensiones de uno sobre masa al cuadrado. 

\begin{figure}
  \centering
\includegraphics[scale=0.8]{mucontact}  
  \caption{Decaimiento del muón a tres cuerpos}
  \label{fig:mucontact}
\end{figure}

Construyendo la misma interacción a partir del Lagrangiano del ME
\begin{align}
  \mathcal{L}=&\frac{g_2^2}{8}\left[\bar{\nu}_\mu\gamma^\mu(1-\gamma_5)\mu\right] \left[ W_{\mu}^{+}W_\nu^{-} \right]
  \left[\bar{e}\gamma^\nu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\,.
\end{align}
Por lo tanto la contracción apropiada de $\left[ W_{\mu}^{+}W_{\nu}^{-} \right]$ debe generar el coeficiente inverso de masa al cuadrado:
\begin{align}
  \left[ W_{\mu}^{+}W_\nu^{-} \right]\to \frac{1}{m_W^2}\,.
\end{align}
Una deducción más rigurosa se realizará en la Sección~\ref{sec:deca-debil-medi}. Por lo tanto
\begin{align}
    \frac{G_F}{\sqrt{2}}=&\frac{g^2}{8m_W^2}\nonumber\\
=& \frac{e^2}{8m_W^2\sin^2\theta_W} \nonumber\\
=& \frac{4\pi e^2}{8(4 \pi) m_W^2\sin^2\theta_W} \nonumber\\
=& \frac{\pi\alpha }{2 m_W^2\sin^2\theta_W} \nonumber\\
m_{W}^2\sin^2\theta_W=&\frac{\sqrt{2}\pi\alpha }{2 G_F} \nonumber\\
m_{W}^2\sin^2\theta_W=&\frac{\pi\alpha }{\sqrt{2} G_F} \,.
\end{align}

Además, de la ec.~\eqref{eq:mwzw}
\begin{align}
  \cos^2\theta_W=&\frac{m_W^2}{m_Z^2} \nonumber\\
  1-\sin^2\theta_W=&\frac{m_W^2}{m_Z^2} \nonumber\\
  \sin^2\theta_W=&1-\frac{m_W^2}{m_Z^2} \,.
\end{align}


De esta forma tenemos las relaciones
\begin{align}
  \sin^2\theta_W=&1-\frac{m_W^2}{m_Z^2}\,,&m_W^2\sin^2\theta_W=\frac{\pi\alpha}{\sqrt{2}G_F}\,,
\end{align}
que permiten determinar que
\begin{align}
  \sin^2\theta_W\approx &0.21\nonumber\\
  m_W\approx &81\,\text{GeV}\,.
\end{align}
El uso de $\alpha(M_Z)\approx1/128$, permite tener en cuenta algunas correcciones cuánticas dando lugar a
\begin{align}
   \sin^2\theta_W\approx &0.23\nonumber\\
  m_W\approx &80\,\text{GeV}
\end{align}
Los valores medidos son $\sin^2\theta_W=0.23149(13)$, $m_W=80.398(25)\,$GeV, y pueden ser reproducidos por el modelo estándar una vez se tienen en cuenta correcciones perturbativas inducidas por partículas virtuales.

El acelerador $e^+e^-$ LEP, que funcionó desde 1998 hasta el 2000~\cite{LEP}, operó a energías suficientes para producir millones de $Z$. Combinado con otros resultados experimentales, se pudo verificar todo el Lagrangiano del Modelo Estándar hasta un nivel del 1 por mil. Con excepción de las interacciones asociadas con el Higgs. 

La universalidad de los decaimientos del $Z$ está soportada por los resultados experimentales siguientes donde sólo se muestran los decaimientos leptónicos del $Z$ diferentes de cero \cite{a} 
\begin{align}
  \label{eq:232qft}
  \Gamma(Z\to e^+e^-)&=83.92(12)\,\text{MeV} &\Gamma(Z\to\mu^+\mu^-)&=83.99(18)\,\text{MeV} 
  &\Gamma(Z\to\tau^+\tau^-)&=84.08(22)\,\text{MeV} \nonumber\\
  \operatorname{Br}(Z\to e^+e^-)&=3.363(4)\%, &\operatorname{Br}(Z\to\mu^+\mu^-)&=3.366(7)\%,  &
  \operatorname{Br}(Z\to\tau^+\tau^-)&=3.370(8)\% 
\end{align}
Mientras que para el $W^\pm$, en \%, \cite{PDG}
\begin{align}
\label{eq:231qft}
  \operatorname{Br}(W^-\to\bar{\nu}_e e^-)&=10.71(16), &
\operatorname{Br}(W^-\to\bar{\nu}_\mu \mu^-)&=10.63(15), &
\operatorname{Br}(W^-\to\bar{\nu}_\tau \tau^-)&=11.38(21)\,. 
\end{align}
La diferencia de $\bar{\nu}_\tau \tau$ respecto a los otros representa un efecto alrededor de $2\sigma$. La universalidad de los acoplamientos leptónicos de $W$ puede comprobarse también indirectamente a través de los decaimientos débiles mediados por corrientes cargadas. Los datos actuales verifican la universalidad de los acoplamientos de corrientes cargadas leptónicas al nivel del 0.2\%~\cite{a}. Sin necesidad de entrar en detalles de los cálculos de las amplitudes de decaimiento, podemos usar el hecho de que ellas son proporcionales a los acoplamientos al cuadrado correspondiente, de modo que  un cociente entre amplitudes de decaimiento es igual, en primera aproximación, a los cocientes de los acoplamientos al cuadrado. Tendremos en cuenta además que el Branching es la amplitud de decaimiento a un canal especifico divido por la suma de las amplitudes de decaimiento a todos los canales posibles.




Para los decaimientos del $Z$ el Modelo Estándar predice, además de la ausencia de eventos del tipo $Z\to e^+\mu^-$, que para un cierto  $l=e,\mu,\tau$, o  $q=d,s,b$
\begin{align}
  \frac{ \operatorname{Br}(Z\to l^+l^-)}{ \operatorname{Br}(Z\to\bar{q}q)}\approx&
\frac{(|v_l|^2+|a_l|^2)}{N_c(|v_q|^2+|a_q|^2)}\nonumber\\
=&\frac{\left[\left(-\frac{1}{2}+2\sin^2\theta_W\right)^2+\frac{1}{4}\right]}{
N_c\left[\left(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\sin^2\theta_W\right)^2+\frac{1}{4}\right]}\nonumber\\
\approx&\frac{0.776}{N_c}=
\begin{cases}
  0.338& N_c=2\\
  0.225& N_c=3\\
  0.169& N_c=4
\end{cases}
\end{align}
Para ser comparado con el resultado experimental de por ejemplo
\begin{align}
  \frac{ \operatorname{Br}(Z\to e^+e^-)}{ \operatorname{Br}(Z\to\bar{b}b)}=\frac{3.363(4)}{15.12(5)}\approx0.222
\end{align}
que de nuevo da lugar al $N_c=3$, que seguiremos tomando en adelante.

Los Branchings de decaimiento en la ec.~\eqref{eq:231qft} y ec.~\eqref{eq:232qft}  pueden ser calculados sin entrar en detalles del cálculo de las amplitudes. Teniendo en cuenta que el canal $Z\to\bar{t}t$ esta cerrado
\begin{align}
  &\operatorname{Br}(Z\to e^+e^-)=\frac{\Gamma(Z\to e^+e^-)}{\Gamma_{\text{total}}}\nonumber\\
 &\qquad=\frac{(|v_e|^2+|a_e|^2)}{\sum_l[(|v_l|^2+|a_l|^2)+(|v_{\nu_l}|^2+|a_{\nu_l}|^2)]
+N_c[\sum_{i=1}^2(|v_{u_i}|^2+|a_{u_i}|^2)+\sum_{i=1}^3(|v_{d_i}|^2+|a_{d_i}|^2)]}\nonumber\\
 &\qquad=\frac{(|v_e|^2+|a_e|^2)}{3[(|v_e|^2+|a_e|^2)+(|v_{\nu_e}|^2+|a_{\nu_e}|^2)]
+3[2(|v_{u}|^2+|a_{u}|^2)+3(|v_{d}|^2+|a_{d}|^2)]}\nonumber\\
  &\qquad=\frac{(|v_e|^2+|a_e|^2)}{21|a_e|^2+3[|v_e|^2+|v_{\nu_e}|^2]
+3[2|v_{u}|^2+3|v_{d}|^2]}\nonumber\\
 &\qquad=\frac{(-1+4s^2\theta_W)^2+1}{21+3[(-1+4s^2\theta_W)^2+1]
+3[2(1-\frac{8}{3}s^2\theta_W)^2+3(-1+\frac{4}{3}s^2\theta_W)^2]}\nonumber\\
  &\qquad=\frac{2-8s^2\theta_W+16s^4\theta_W}{42-80s^2\theta_W+\frac{320}{3}s^4\theta_W}\nonumber\\
&\qquad\approx3.43\%
\end{align}
Para $W^\pm$ tenemos por ejemplo
\begin{align}
\operatorname{Br}(W^-\to\bar{\nu}_e e^-)=\frac{\Gamma(W^-\to\bar{\nu}_e e^-)}{\Gamma_{\text{total}}}
\end{align}
donde, teniendo en cuenta que los canales a top están cerrados, y usando la condición de unitariedad de la matriz CKM en ec.~\eqref{eq:230qft}, tenemos
\begin{align}
  \Gamma_{\text{total}}=&\sum_l\Gamma(W^-\to\bar{\nu}_l l^-)+N_c\sum_i[\Gamma(W^-\to\bar{u}_1d_i)+\Gamma(W^-\to\bar{u}_2d_i)]\nonumber\\
  =&\Gamma(W^-\to\bar{\nu}_e e^-)\{3+N_c\sum_i[|V_{1i}|^2+|V_{1i}|^2]\} \nonumber\\
  =&\Gamma(W^-\to\bar{\nu}_e e^-)(3+2N_c) \nonumber\\
\end{align}
entonces
\begin{align}
  \operatorname{Br}(W^-\to\bar{\nu}_e e^-)=\frac{1}{3+2N_c}=11.1\%
\end{align}
Una mejor predicción de dichos resultados en el contexto del Modelo Estándar requiere tener en cuenta las correcciones radiativas.


El ME también tiene una predicción concreta para la amplitud del $Z$ a neutrinos, $\Gamma_{\text{inv}}$:
\begin{align}
  \frac{\Gamma_{\text{inv}}}{\Gamma_l}=&\frac{\sum_l\Gamma(Z\to\bar{\nu}_l\nu_l)}{\Gamma(Z\to e^+ e^-)}\nonumber\\
  &=\frac{N_\nu\Gamma(Z\to\bar{\nu}_e\nu_e)}{\Gamma(Z\to e^+ e^-)}\nonumber\\
  &\approx\frac{N_\nu(|v_{\nu_e}|^2+|a_{\nu_e}|^2)}{|v_{e}|^2+|a_{e}|^2}\nonumber\\
  &=\frac{2N_\nu}{(-1+4\sin^2\theta_W)^2+1}\nonumber\\
  &=\frac{N_\nu}{1-4\sin^2\theta_W+8 \sin^4\theta_W}\nonumber\\
  &\approx\begin{cases}
    5.865&N_\nu=3\\
    7.819&N_\nu=4
  \end{cases}\,,
\end{align}
mientras que el valor medido experimentalmente para esta cantidad $5.942(16)$ \cite{a}, es una evidencia muy fuerte de que sólo exiten tres neutrinos livianos. 
\end{frame}

Note que el mismo resultado se puede obtener usuando la notación de dos componentes de \eqref{eq:lsmw}. Con $t_{e_R}=0$, $t_{\nu}=-t_{e_L}=1$, $Q_{\nu}=0$ y $Q_e=-1$ tenemos que
\begin{align}
  \frac{\Gamma_{\text{inv}}}{\Gamma_l}=&\frac{\sum_l\Gamma \left[ Z\to \left( \nu_l \right)^{\dagger}\nu_l \right]}{\Gamma \left[Z\to \left( e_L \right)^{\dagger} e_L  \right]+\Gamma \left[Z\to \left( e_R \right)^{\dagger} e_R  \right]}\nonumber\\
=&\frac{N_{\nu} t_{\nu}^2 }{\left( t_{e_L} - 2 Q_e \sin^2\theta_W \right)^2+ \left( 2 Q_e \sin^2\theta_W \right)^2 } \nonumber\\
=&\frac{N_{\nu} }{\left( -1 + 2 \sin^2\theta_W \right)^2+4 \sin^4\theta_W } \nonumber\\
=&\frac{N_{\nu} }{1 - 4 \sin^2\theta_W +4 \sin^4\theta_W +4 \sin^4\theta_W } \nonumber\\
=&\frac{N_{\nu} }{1 - 4 \sin^2\theta_W +8 \sin^4\theta_W } \,.
\end{align}

\subsection{Decaimientos débiles mediados por corrientes cargadas}
\label{sec:deca-debil-medi}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
De la corrientes cargadas para leptones tenemos
\begin{align}
  \mathcal{L}_{cc}\supset&\frac{g_2}{2\sqrt{2}}\left[\sum_l\bar{\nu_l}\gamma^\mu(1-\gamma_5)l W_\mu^++\bar{l}\gamma^\mu(1-\gamma_5)\nu_l W_\mu^-\right]
\end{align}
Esto da lugar a los posibles diagramas para decaimientos de leptones a bosones virtuales, y bosones a leptontes mostrados en la figura~\ref{fig:leptoncc}. Las flechas representan el flujo de número leptónico. La flecha de tiempo es de izquierda a derecha. Al lado izquierdo del vértice entran partículas y salen antipartículas. Mientras que al lado derecho entran antip artículas y salen partículas
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{leptoncc}
\qquad  \includegraphics[scale=0.5]{wdecay}

  \caption{Diagramas de Feynman para las corrientes cargadas}
  \label{fig:leptoncc}
\end{figure}
Del primer y cuarto diagrama obtenemos el diagrama de Feynman para el decaimiento $\mu^-\to \nu_\mu e^-\bar{\nu}_e$, mostrado en la figura~\ref{fig:muondecay}
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{muon_decay}
  \caption{diagrama de Feynman para el decaimiento $\mu^-\to \nu_\mu e^-\bar{\nu}_e$}
  \label{fig:muondecay}
\end{figure}
El propagador para el bosón $W$ de momentum $q$ resulta ser
\begin{align}
  \widetilde{D}_{\mu\nu}=\frac{1}{q^2-m_W^2}\left(g_{\mu\nu}-\frac{q_\mu q_\nu}{m_W^2}\right)\,.
\end{align}
Para los propósitos actuales la obtención de este resultado no es necesaria, el punto importante es que cuando los momentum de las partículas iniciales y finales son mucho más pequeñas que $m_W$, esto se reduce a
\begin{align}
  \widetilde{D}_{\mu\nu}=-\frac{g_{\mu\nu}}{m_W^2}\,.
\end{align}
Este resultado se entiende fácilmente cuando se compara con el propagador de una partículas escalar masiva $1/(q^2-M^2)\to-1/M^2$. Las componentes espaciales de $W_\mu$ con $\mu=1,2,3$, a bajas energías tienen el mismo propagador que el de una partícula escalar, mientras $W_0$, tiene el signo opuesto.

El Lagrangiano efectivo para el decaimiento del muón, $\mu^-\to \nu_\mu e^- \bar{\nu}_e$ es entonces
\begin{align}
  \mathcal{L}=&\frac{g_2^2}{8}\left[\bar{\nu}_\mu\gamma^\mu(1-\gamma_5)\mu\right]\frac{g_{\mu\nu}}{m_W^2}
  \left[\bar{e}\gamma^\nu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\nonumber\\
=&\frac{g_2^2}{8m_W^2}\left[\bar{\nu}_\mu\gamma^\mu(1-\gamma_5)\mu\right]
  \left[\bar{e}\gamma^\nu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\nonumber\\
  =&\frac{G_F}{\sqrt{2}}\left[\bar{\nu}_\mu\gamma^\mu(1-\gamma_5)\mu\right]\left[\bar{e}\gamma_\mu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\,,
\end{align}
donde
\begin{align}
  \frac{G_F}{\sqrt{2}}=&\frac{g_2^2}{8m_W^2}\nonumber\\
  =&\frac{g_2^24}{8g^2v^2}\nonumber\\
  =&\frac{1}{2v^2}\,,
\end{align}
y
\begin{align}
  v=\left(\sqrt{2}\,G_F\right)^{-1/2}=&246.2\ \text{GeV}\nonumber\\
 \approx&2.9\times 10^{15}\ \text{K} \nonumber\\
 \approx&4.9\times 10^{-14}\ \text{m} \nonumber\\
 \approx&1.6\times 10^{-22}\ \text{s} \,.
\end{align}


De otro lado, para el  decaimiento $\beta$, $n\to p e^- \bar{\nu}_e$, de acuerdo a la figura~\ref{fig:neutrondecay}, tenemos

\begin{align}
    \mathcal{L}=\frac{G_\beta}{\sqrt{2}}\left[\bar{p}\gamma^\mu(1-1.26\gamma_5)n\right]\left[\bar{e}\gamma_\mu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\,.
\end{align}
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{neutrondecay}
  \caption{Decaimiento del neutrón.}
  \label{fig:neutrondecay}
\end{figure}
con $G_F$ dado en la ec.~\eqref{eq:233qft} y $G_\beta=1.10\times 10^{-5}\,\text{GeV}^2$. La corriente hadrónica tiene la forma V--1.26A. El factor 1.26  puede entenderse como debido a las correcciones a nivel hadrónico de una corriente que es de la forma V--A a nivel del quarks, como en la ec.~\eqref{eq:234qft}. A nivel de quarks el decaimiento del neutrón ($udd$) al protón ($uud$) corresponde al decaimiento de uno de los quarks down del neutrón $d\to u e^- \bar{\nu}_e$
\begin{align}
    \mathcal{L}=\frac{G_F}{\sqrt{2}}V_{11}\left[\bar{u}\gamma^\mu(1-\gamma_5)d\right]\left[\bar{e}\gamma_\mu(1-\gamma_5)\nu_e\right]\,.
\end{align}
De modo que $G_\beta=G_F V_{11}=G_F\cos\theta_C$, donde $\theta_C$ es el ángulo de Cabbibo. Una vez se tienen en cuenta correcciones electrodébiles se obtiene el valor $|V_{11}|=0.97418(27)$\cite{PDG}. Las magnitudes de los elementos de la matriz CKM~\eqref{eq:vckm} son~\cite{PDG}
\begin{align}
  V_{\text{CKM}}\approx\begin{pmatrix}
    0.97419&0.2257&0.0359\\
    0.2256&0.97334&0.0415\\
    0.00874&0.0407&0.999133
  \end{pmatrix}\sim \mathbf{1}
\end{align}
\end{frame}

Para cerrar esta notas, transcribo a continuación el último párrafo de la conferencia de Steven Weinberg en 1979 con motivo de la entrega del premio nobel del física por el desarrollo del modelo estándar de las interacciones fundamentales:

\begin{quote}
[...]  And
nothing makes me more optimistic than the discovery of broken symmetries.
In the seventh book of the Republic, Plato describes prisoners who are
chained in a cave and can see only shadows that things outside cast on the
cave wall. When released from the cave at first their eyes hurt, and for a
while they think that the shadows they saw in the cave are more real than
the objects they now see. But eventually their vision clears, and they can
understand how beautiful the real world is. We are in such a cave, imprisoned
by the limitations on the sorts of experiments we can do. In particular,
we can study matter only at relatively low temperatures, where symmetries
are likely to be spontaneously broken, so that nature does not appear
very simple or unified. We have not been able to get out of this cave, but by
looking long and hard at the shadows on the cave wall, we can at least make
out the shapes of symmetries, which though broken, are exact principles
governing all phenomena, expressions of the beauty of the world outside.
\end{quote}
S. Weinberg, Nobel lecture, 1979

\section{Resumen}
A modo de resumén, usaremos a continuación la siguiente secuencia de la historieta de \url{http://www.phdcomics.com} re-explicando el bosón de Higgs:
\newpage

\includegraphics[scale=0.51]{Higgs1}

\includegraphics[scale=0.56]{Higgs2}

\includegraphics[scale=0.49]{Higgs3}

\newpage


\section{Lecturas recomendadas}
Libros de nivel similar:
\begin{itemize}
\item \cite{kane,cottingham,Pich:2005mk}
\item \cite{Larkoski:2019jnv,Siegel:1988yz,Nair:2018cuy,Nair:2005iw,Schwichtenberg:2018dri,Schwichtenberg20191,Schwichtenberg20192,Schwichtenberg20193,Lancaster:2014pza} %bibtex
\end{itemize}

Artículos originales

\begin{itemize}
\item Teorías no abelianas \cite{Yang:1954ek}
\item Mecanismo de Higgs \cite{Higgs:1964pj}
\item Teoría electrodébil \cite{Weinberg:1967tq}
\end{itemize}

Artículo de divulgación
\begin{itemize}
\item The deconstructed Standard Model equation, Rashmi Shivni \url{https://www.symmetrymagazine.org/article/the-deconstructed-standard-model-equation}
\end{itemize}

Videos:
\begin{itemize}
\item Strange Stars Explained: \url{https://www.youtube.com/watch?v=p_8yK2kmxoo}
\end{itemize}

% \left(\right)
%
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "fullnotes"
%%% ispell-local-dictionary: "castellano8"
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