3-Me-in-U

[Me-in-U]

🔗 문제 링크

2042번 구간 합 구하기

✔️ 소요된 시간

?

✨ 수도 코드

여기서 사용한 알고리즘(트리) Fenwick Tree, Binary Indexed Tree(BIT)

시간 복잡도 O(logN)
공간복잡도 O(N)

1차원, 2차원 혹은 다차원의 Query 를 처리하는데 사용 될 수 있는 매우 효율적인 자료구조입니다.

A배열에는 숫자가 들어값니다.
tree배열에는 구간합 정보가 들어갑니다.
펜윅트리에서 홀수번째 값은 자기자신이고 이외에는 자기자신까지의 범위 값이다

펜윅 트리를 구현하기 위해서 값에서 0이 아닌 최하위 비트를 구해야한다.
3 = (11)₂ => (01)₂
5 = (101)₂ =>(001)₂
6 = (110)₂ => (010)₂
8 = (1000)₂ => (1000)₂

이걸 구하기 위해서 값을 i라고 하면
i₂ & -i₂ 비트 and 연산을 하면 된다.

예를 들어서 i = 13(1101)₂
(1101)₂ & (0011)₂ == (0001)₂
이렇게 13에서 첫번째로 1인 비트는 첫번째에 있는걸 알 수 있다.

Update()

값을 넣거나 수정할때 사용하는 함수를 보겠습니다.
인덱스가 N보다 작거나 같을때까지 최하위비트가 1인곳을 찾아서 더해줍니다.
그렇게 하면 이 숫자가 포함된 부분합 부분의 인덱스를 다 찾을 수 있고 그곳의 값을 수정해줍니다.(오른쪽으로 가는 느낌)

public static void update(int i, long diff) {
    while (i <= N) {
        BIT[i] += diff;
        i += (i & -i);
    }
}

// b == 3(인덱스), c == 4(바꾸려는 숫자)
// 3번 인데스의 값을 4로 바꾸는 코드
long diff = c - A[b];
A[b] = c;
update(b, diff);

Iteration	index	index & -index
1	3(011)₂	001₂
2	6(100)₂	100₂
3	8(1000)₂	1000₂
4	16(10000)₂	10000₂
5	32(100000)₂	-

다음과 같은 index 순서대로 차이값만큼 값을 더해주면 됩니다.

sum()

구간 합을 구하는 함수
구간합은 처음부터 i번째 인덱스까지의 합을 구할 수 있습니다.
그래서 특정 구간을 구하기 위해 아래와 같이 할 수도 있습니다.

// b~c까지의 부분합
sum(c) - sum(b - 1)

구간합은 업데이트와 반대로
인덱스가 0보다 크면 최하위비트가 1인곳을 찾아서 빼줍니다(왼쪽으로 가는 느낌)

public static long sum(int i) {
    long ans = 0;
    while (i > 0) {
        ans += BIT[i];
        i -= (i & -i);
    }
    return ans;
}

Iteration	index	index & -index	sum
1	13(1101)₂	0001₂	2
2	12(1100)₂	0100₂	4
3	8(1000)₂	1000₂	17
4	0	-	-

13번째 까지의 합을 구하면 위와같이 17이 나옵니다.

📚 새롭게 알게된 내용

2차원 부분합도 알 수 있다고 합니다

[erase-jeong]

그냥 풀었다가 시간초과떠서 왜지? 했는데 설명보고 이해했습니다. 수고하셨어요!

[wjdheesp44]

펜윅 트리 알고리즘을 이해하면 코드 자체는 간결하게 구성되네요! 알고리즘 이해에 도움이 되었습니다!